El lema fundamental y la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Question

He aquí una pregunta bastante patética. En un comentario en el weblog de Tim Gower, afirmé provisionalmente que el lema fundamental era necesario para el trabajo de Skinner y Urban que relaciona los rangos de los grupos Selmer de curvas elípticas con la fuga de su $p$ -adic $L$ -funciones. Ahora, creo que es correcto que alguna versión endoscópica de transferencia de un grupo unitario a un grupo lineal general es necesaria para la construcción de su $\Lambda$ -representaciones anádicas. Sin embargo, al tener un conocimiento muy pobre de las técnicas reales, no sé qué versión es crucial. Es decir, es muy probable que algún caso especial anterior sea suficiente para Skinner-Urban. ¿Podría molestar a algún experto para que hiciera un breve resumen de la situación?

Lo patético de esto es que el periodista que mencioné en el comentario llamará dentro de unas 4 horas, así que estaría bien saberlo antes. Por supuesto que no debería haber aceptado hablar de algo de lo que sé tan poco, pero era difícil negarse dadas las circunstancias. Oh, en caso de que te preocupe que vaya a hablar de Skinner-Urban con el compañero, no lo hagas. Sólo quiero ponerme al día sobre los antecedentes.

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Añadido:

Para las personas a las que les guste la idea de la diversidad lingüística en las matemáticas, incluyo un enlace a un informe escrito (con Sugwoo Shin) para la Sociedad Matemática Coreana que amplía el comentario al periodista.

Answer 1

Querido Minhyong,

Según tengo entendido, basándome en charlas de Skinner y en el artículo del ICM que has enlazado, sí, se basan en el lema fundamental, es decir, el lema fundamental para grupos unitarios demostrado por Laumon y Ngo. Desgraciadamente, no estoy suficientemente instruido en su trabajo, o en el campo de las variedades Shimura unitarias en general, para estar seguro de si su conjetura 4.1.1 es realmente un teorema en este momento o no. Sin duda, Sug Woo Shin y Sophie Morel han demostrado resultados relacionados, ambos basándose en Laumon--Ngo. en Laumon--Ngo. Pero no estoy seguro de si estos resultados se refieren a los grupos unitarios concretos considerados por Skinner--Urban. (Sólo mirando brevemente lo que Skinner y Urban escriben, parece como si estuvieran considerando grupos cuasi-split, o al menos grupos que no son anisótropos, de modo que sus variedades de Shimura son no compactas; por tanto, el trabajo de Morel (que considera el caso no compacto) puede ser más directamente relevante que el de Shin (que considera el caso compacto); pero tanto el trabajo de Morel como el de Shin vienen con ciertas restricciones técnicas, de modo que los requisitos precisos de la conjetura 4.1.1 (en particular, preciso compatibilidad local-global lejos de la característica de residuo) puede no seguirse en toda la generalidad considerada por Skinner y Urban del trabajo de cualquiera de ellos).

Siento no poder decir más, pero creo que se puede afirmar que el lema fundamental es un ingrediente crucial (aunque muy técnico) de su programa.

A riesgo de añadir consejos no solicitados ni deseados: También podrías mencionar la prueba completa de Sato--Tate para curvas elípticas sobre campos totalmente reales (sin requisito de que el $j$ -sea no integral, al contrario que en el trabajo original de Clozel--Harris-Shepherd-Barron-Taylor), que se deduce del trabajo de CHSBT + el de Shin (el trabajo sobre variedades Shimura unitarias compactas mencionado anteriormente, que como ya he señalado requiere Laumon--Ngo como ingrediente).

Se trata de un enunciado diofantino bastante bonito (técnico para un periodista, obviamente, pero es de suponer que se puede transmitir lo esencial) con el lema fundamental formando uno de los pilares que lo sustenta.