Movimiento browniano, media

Question

Sea $({W}_{t}^{(i)})_{0 \leq t \leq T}$ , $i=1,2, \dots, n$ sea una secuencia de movimientos brownianos estándar independientes en el espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} )$ y que $(\mathcal{F}_t)_{0\leq t \leq T}$ sea la filtración asociada. Además, sea $(\theta_{t}^{(i)})_{0\leq t \leq T}$ , $i=1,2,\dots,n$ ser procesos adaptados y considerar \begin{align*} Z_t = \exp \left( -\int^t_0 \sum^n_{i=1} \theta_{u}^{(i)}d {W}_{u}^{(i)} - \frac{1}{2} \int^t_0 \sum^n_{i=1} (\theta_{u}^{(i)})^2 du \right). \end{align*}

Cómo demostrar que $Z_t$ es una martingala bajo la medida $\mathbb{P}$ .

Answer 1

Su igualdad (**) se cumple si $\theta^{(1)},\cdots,\theta^{(n)}$ son independientes.

Sobre tu última desigualdad, ¿cómo debemos entenderla? ¿Debemos entender que se cumple en este caso concreto? Entonces por supuesto que es cierta, y son igualdades pares (si se tiene la independencia antes mencionada). Si no, ¿debemos entender que para variables aleatorias $X_1,\cdots,X_n$ , $$ \mathbb E\left[\prod_{i=1}^nX_i\right]\le\prod_{i=1}^n\mathbb E[X_i]? $$

Esto último es obviamente falso. Porque eso implicaría por ejemplo tomando $n=2$ y $X_1=X_2=X$ que $\mathbb E[X^2]\le\mathbb E[X]^2$ que es falsa para cualquier variable aleatoria no constante $X$ .