Teorema de Bolzano-Weierstrass en un espacio normado de dimensión finita

Question

El problema puede tener una respuesta muy simple, pero ahora me está confundiendo un poco.

Sea $(\mathbf{V},\lVert\cdot\rVert)$ un espacio vectorial normado de dimensión finita. Un subconjunto $\mathbf{U}$ de $\mathbf{V}$ se dice que está acotado, si existe un real $M$ tal que para cualquier miembro $u$ de $\mathbf{U}$, tenemos: $\lVert u\rVert\lt M$. Además, la convergencia de una secuencia en $\mathbf{V}$ se define con respecto a la métrica $\lVert\cdot\rVert$. ¿Es cierto que cada sucesión acotada de vectores en $\mathbf{V}$ admite una subsucesión convergente?

Si no es así, por favor, dé un contraejemplo con $\mathbf{V}$ de dimensión finita.

Answer 1

Voy a escribir un poco más de detalles sobre mi comentario.

Tomemos una base $\{v_1,\ldots,v_n\}$ para $V$ y consideremos el isomorfismo $T:\mathbb{R}^n\rightarrow V$ tal que $T(e_i)=v_i$. Definamos una nueva norma en $\mathbb{R}^n$ por

$$\|x\|_{\mathbb{R}^n}=\|T(x)\|_V$$

Esto implica que $T$ es un homeomorfismo, porque lleva bolas abiertas en bolas abiertas del mismo radio, por definición de la norma en $\mathbb{R}^n$. En particular, recuerda que un homeomorfismo lleva sucesiones convergentes en sucesiones convergentes.

Una vez que $T$ es un isomorfismo, de hecho esta es una norma y, además, tenemos

$$\|v\|_V=\|T^{-1}(v)\|_{\mathbb{R}^n}$$

Tomemos una sucesión acotada $\{v_k\}_{k=1}^\infty$ en $V$. Entonces $x_k=T^{-1}(v_k)$ es una sucesión acotada en $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_{\mathbb{R}^n})$. Una vez que todas las normas en $\mathbb{R}^n$ son equivalentes, esta sucesión es acotada con respecto a la norma euclidiana. Entonces, esta sucesión tiene una subsucesión convergente, digamos $x_{k_j}$. Por lo tanto, $T(x_{k_j})$ es una subsucesión convergente de la original $\{v_k\}_{k=1}^\infty$.

Answer 2

Aquí hay una respuesta corta pero depende de otros resultados.

1. Cada espacio lineal normado $n$-dimensional $V$ es completo. De hecho, es homeomorfo a $R^n$.
2. Recordemos que un conjunto en $R^n$ es compacto si y solo si es cerrado y acotado.
3. Siguiendo esto, podemos demostrar que un conjunto en un espacio lineal normado $n$-dimensional es compacto si y solo si es cerrado y acotado.
4. Si un conjunto $U \subseteq V$ está acotado. Entonces su cierre es cerrado y acotado, por lo tanto compacto.
5. Finalmente, usamos el hecho de que cada secuencia de un conjunto compacto tiene una subsucesión convergente que converge en el propio conjunto compacto.
6. Por lo tanto, si $U$ está acotado, entonces cada secuencia de $U$ tiene una subsucesión convergente que converge en el cierre de $U$.
7. Si además, $U$ está cerrado, entonces la subsucesión convergerá en $U$ mismo.

Para la completitud de espacios lineales normados $n$-dimensionales y la compacidad de sus subconjuntos cerrados y acotados, revisa las notas aquí.