2D cubo de Rubik?

Question

Hay un $3\times3$ matriz llenada por los números 1~9, que podría tener este aspecto

$$\begin{bmatrix}3 & 8 & 2 \\ 4 & 1 & 6 \\ 7 & 5 & 9\end{bmatrix}$$

Todas sus filas y columnas se puede "rodar hacia adelante y hacia atrás" (como la permutación actúa en una sola fila/columna)

Rollo de la segunda columna hacia arriba:

$$\begin{bmatrix}3 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$$

Y el rollo de la primera fila a la izquierda, obtenemos

$$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$$

Ahora, si dada una matriz arbitraria como este, ¿cómo puedo saber si se puede restaurar de nuevo a $A$? Si siempre pudo, ¿por qué?

Answer 1

Si partimos de una matriz de

$$\begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{bmatrix}$$

a continuación, el mapa $1 \mapsto a$, $2 \mapsto b$, etc, define una permutación $\sigma$$\{1, 2, ..., 9\}$, es decir, un elemento de $S_9$. La validez "se mueve" consiste en que la composición de este permutación con uno de los elementos $(123), (456), (789), (147), (258), (369)$ o sus inversos.

Así que la pregunta se convierte en: ¿qué es el subgrupo $G$ $S_9$ generado por $\{(123), (456), (789), (147), (258), (369)\}$? Para empezar, estas son todas las permutaciones, por lo que estamos en realidad en busca de un subgrupo de $A_9$.

A continuación nos aviso de que se puede obtener de $A$ a

$$\begin{bmatrix}2 & 3 & 1 \\ 5 & 6 & 4 \\ 8 & 9 & 7\end{bmatrix}$$

y, a continuación, a

$$\begin{bmatrix}2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 1\end{bmatrix}$$

por lo $(123456789) \in G$. Y $(123456789)$ $(123)$ generar $A_9$, lo $G = A_9$.

Así que la respuesta a la primera pregunta: se puede obtener a partir de una matriz a $A$ si y sólo si la permutación $\sigma$ definido anteriormente es una permutación.