Dos formas diferentes de determinar $\lim_{x\to \infty} \frac{\sin x}{x}$ .

Question

Método 1: Utilizando el teorema de Sandwich

Sabemos que

$$\frac{-1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x} $$

Límite de aplicación,

$$\lim_{x\to \infty}\frac{-1}{x} \leq \lim_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x} \leq \lim_{x\to \infty}\frac{1}{x} $$

$$ 0 \leq \lim_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x} \leq 0 $$

$$\therefore\lim_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x} = 0$$

Método 2:

Ponga $x = \frac{1}{t}$

Entonces como $x \to \infty$ , $\frac{1}{t} \to 0.$

La ecuación se convierte en: $$\lim_{\frac{1}{t}\to 0}\frac{\sin \frac{1}{t}}{\frac{1}{t}}$$ que es 1.

¿Estoy haciendo algo mal? Por favor, ayúdeme.

Answer 1

Cometiste un error con la sustitución.

Si $x=\frac1t$ entonces como $x\to\infty,\ \frac1t=x\to\infty$ no cero.

La forma correcta de resolverlo es reconocer que como $x\to\infty,\ \color{red}{t}\to0^+$ (es inútil buscar dónde $\frac1t$ va ya que es sólo $x$ y no estarías utilizando la sustitución).

Entonces, $\lim_{x\to \infty} \frac{\sin x}{x}$ se convierte: $$\lim_{t\to0^+}\frac{\sin(1/t)}{(1/t)}=\lim_{t\to0^+}t\sin(1/t)$$

Aplicando el teorema del estrujamiento (ya que $t\to0^+,\ t$ es positivo y podemos multiplicar por él): $$-1\leq\sin(1/t)\leq1\implies -t\leq t\sin(1/t)\leq t$$ Tomando el límite de todos los términos: $$\lim_{t\to0^+}(-t)\leq\lim_{t\to0^+}t\sin(1/t)\leq\lim_{t\to0^+}t$$ $$0\leq\lim_{t\to0^+}t\sin(1/t)\leq0$$ Por lo tanto $$\lim_{t\to0^+}t\sin(1/t)=0,$$ que es equivalente al límite original $$\lim_{t\to0^+}\frac{\sin(1/t)}{(1/t)}=0.$$

Answer 2

Las dos evaluaciones son correctas, pero se trata de dos límites completamente distintos. Para hacerlos iguales deberíamos tomar $x=\frac 1 t \to \infty$ con $t\to 0^+$ (y no $\frac1t \to 0^+$ ) y luego

$$\lim_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}= \lim_{t\to 0^+}\frac{\sin \frac1t}{\frac1t}=0$$

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Editar

Como alternativa al teorema del sándwich, podemos proceder por contradicción suponiendo que

$$\frac{\sin x}{x}\to L\neq 0$$

pero para $x_n= 2\pi n\to \infty$ obtenemos

$$\frac{\sin x_n}{x_n}=\frac{\sin\left( 2\pi n\right)}{2\pi n}= 0$$

lo cual es una contradicción.

Por lo tanto si existe límite debe ser igual a cero y esto finalmente se puede comprobar por la definición.