Intersección de Sylow abelianos distintos $p$ -subgrupos es trivial?

Question

Sea $P$ et $Q$ sean abelianos distintos $p$ -Subgrupos Sylow de un grupo finito $G$ .

¿Es su intersección $P\cap Q=\{1\}?$

Esto es válido para el orden $p$ $P$ et $Q$ .

Llevo tiempo intentándolo pero no consigo este resultado tan elemental.

Pero alguien me dijo que es cierto (aunque no estoy seguro de que sea verdad).

¿Tal vez una pista?

No quiero perder mucho tiempo con esto. Gracias.

Answer 1

No es cierto en general: mira el Sylow $2$ -subgrupos de $S_3 \times S_3$ y encontrarás un par que tenga una intersección no trivial.

Answer 2

Como ya se ha dicho, esto no es cierto en general. Sin embargo, SÍ es cierto para diferentes primos p y q. Es decir, si $P$ es un grupo p y $Q$ es un grupo q, entonces $$P \cap Q = \{e\}$$

Esto se debe a que un elemento en esta intersección debe tener un orden que divida ambos $p$ et $q$ que obviamente son coprimas. Me pregunto si eso es lo que quería decir.