Condiciones para llevar un límite a una suma infinita

Question

Supongamos que $f\left(x\right)={\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}g_{n}\left(x\right)}$ ¿en qué condiciones es cierto que: $$\lim_{x\to c}f\left(x\right)={\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\lim_{x\to c}g_{n}\left(x\right)} $$

Sé que es verdad si ${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}g_{n}\left(x\right)}$ converge uniformemente, ¿existen condiciones suficientes más débiles?

Pequeño añadido a la pregunta:

En concreto $\alpha>0$ la serie de potencias de $f\left(x\right)=\frac{1}{\left(1-x\right)^{\alpha}}$ es $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha\left(\alpha+1\right)\left(\alpha+2\right)\cdots\left(\alpha+\left(n-1\right)\right)}{n!}x^{n}$$ Converge uniformemente en $\left(-1,1\right)$ y por supuesto sabemos que ${\displaystyle \lim_{x\to1^{-}}\frac{1}{\left(1-x\right)^{\alpha}}}$ . Quiero usar eso para decir que: $$\infty=\lim_{x\to1^{-}}\frac{1}{\left(1-x\right)^{\alpha}}={\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha\left(\alpha+1\right)\left(\alpha+2\right)\cdots\left(\alpha+\left(n-1\right)\alpha\right)}{n!}\lim_{x\to1^{-}}x^{n}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha\left(\alpha+1\right)\left(\alpha+2\right)\cdots\left(\alpha+\left(n-1\right)\right)}{n!}$$

¿Qué justificación utilizo aquí? No puedo utilizar la convergencia uniforme ya que la serie de potencias no converge a $x=1$ .

Gracias.

Answer 1

Hay que considerar la suma como la integral de $g_n(x)$ con respecto a la medida de recuento: $$\int_\mathbb Ng_n(x){d\mu(n)}=\sum\limits_{n=1}^\infty g_n(x)$$ Si $g_n(x)$ está dominada por una función integrable $f_n$ es decir $$|g_n(x)|\leq f_n,\forall n\in\mathbb N,\forall x\text{ and }\int_\mathbb Nf_nd\mu(n)=\sum\limits_{n=1}^\infty f_n<\infty$$ A continuación, puede utilizar Convergencia dominada teorema y límites de conmutación e integración