encuentre las funciones f tales que $f(f(x))=xf(x)+1$,

Question

deje $f:R\longrightarrow R$, e $f$ es continua,y de tal manera que $f(f(x))=xf(x)+1$,

encontrar todos los esta $f$?

seguir es mi idea:(pero yo no tengo la solución)

Tenemos $f(f(0)) = 1$, por lo que no es su $c = f(0)$, de tal manera que $f(c) = 1$. Suponga que existe $v$ tal que $f(v) = 0$. A continuación,$f(0) = f(f(v)) = vf(v) + 1 = 1$, lo $c=1$. Ahora, $f(0) = f(1) = 1$, lo $1 = f(f(0)) = f(f(1)) = f(1)+1 = 2$, absurdo.

Por lo $f(x) \neq 0$ todos los $x$, lo $f$ es de signo constante, continua. Ahora imagine $f(x) = f(y) = t \neq 0$, lo $xt+1 = f(f(x)) = f(f(y))= yt + 1$, de donde $(x-y)t=0$, lo $x=y$. Esto significa $f$ es inyectiva, por lo tanto monótono, continua. Por otra parte, suponga $x=f(x)$, lo $x = f(x) = f(f(x)) = xf(x) + 1 = x^2+1$, lo $x^2-x+1 = 0$, pero esto no tiene raíces reales, por lo $f(x) \neq x$ todos los $x$. A continuación, cualquiera de $f(x) > x$ todos los $x$ o $f(x) < x$ todos los $x$, ya que el $f(x)-x$ es continua

marca: este problema es mi encontraron,provienen de esta probelm,si al $f:N\longrightarrow N$,y agregar$f(1)=1$, a continuación, este problema es equivalente siga problema $$a_{n+1}=na_{n}+1,a_{1}=1$$

podemos encontrar $a_{n}=[e(n-1)!]$,

Gracias a todos puede ayudar

Answer 1

A partir de la OP y Zach L comentario de la OP, podemos continuamente extender $f$ a una función en el extendido de los números reales mediante el establecimiento $f(-\infty) = 0$$f(+\infty) = +\infty$.

Definir una secuencia $a_n$ de extendido de los números reales para todos los números naturales por $a_0 = -\infty$, e $a_{n+1} = f(a_n)$. Observar que $f$ es un bijective función de $[a_n, a_{n+1}] \to [a_{n+1}, a_{n+2}]$.

Deje $g$ ser la inversa de a $f$ (con dominio de la no-negativa extendida de los números reales)

La secuencia de $a_n$ es monótona y creciente, y por lo tanto tiene un límite de $L$ en la prolongación de los números reales. Esto satisface

$$\begin{align} L &= \lim_{n \to +\infty} a_n \\&= \lim_{n \to +\infty} a_{n+1} \\&= \lim_{n \to +\infty} f(a_n) \\&= f(\lim_{n \to +\infty} a_n) \\&= f(L) \end{align} $$

El OP ya ha demostrado que $f$ no tiene ningún finito de puntos fijos, por lo tanto,$L = +\infty$.

Esto significa que los intervalos de $[a_n, a_{n+1}]$ cubrir todo el rango de $[-\infty, +\infty)$.

El hecho de que $f(f(x)) = x f(x) + 1$ significa que el valor de $f$ $[a_{n+1}, a_{n+2}]$ está determinada por sus valores en $[a_n, a_{n+1}]$ (considerando $x \in [a_n, a_{n+1}]$).

Por lo tanto, $f$ está completamente determinada por sus valores en $[a_0, a_1] = [-\infty, 0]$.

Por el contrario, afirmo que si usted elige cualquier continua, monótona creciente de la función de $f_0$ $[-\infty, 0]$ tal que $f_0(-\infty) = 0$$0 < f_0(0) < 1$, luego tenemos un n aumento de la secuencia (convergentes a $+\infty$) de forma recursiva definida por

• $a_0 = -\infty$
• $a_1 = 0$
• $a_2 = f_0(0)$
• $a_{n+2} = a_{n+1} a_n + 1$

y una secuencia de invertir las funciones de $f_n : [a_n, a_{n+1}] \to [a_{n+1}, a_{n+2}]$ forma recursiva definida por

• $f_{n+1}(x) = f_n^{-1}(x) x + 1 $

y, a continuación, la función

$$ f(x) = \begin{cases} f_n(x) & x \in [a_n, a_{n+1}] \\ +\infty & x = +\infty \end{casos} $$

es (continua extensión a la extensión de los números reales) de una solución para el problema.

Answer 2

La definición implica que podemos tomar $x$$f(f(x))$. Que significa que existe una función que es la inversa de a $f$. Vamos a llamar a esa función $g$$g(f(x)) = x$.

Tendríamos:

$f(f(x)) = g(f(x))f(x) +1$

Ahora mismo sólo tenemos definido el caso de $f(f(x))$. Ya que tenemos que encontrar funciones que satisfacen ese caso, pero no hay ninguna restricción en otros casos, se puede definir el caso general $f(x)$ como:

$f(x) = g(x)x +1$

Por simple álgebra, podemos definir a la $g$ como:

$g(x) = (f(x) - 1)/x$

Ahora, supongamos que tenemos $f(z_1) = z_2$, entonces podemos usar $g(f(x)) = x$ encontrar $g(z_2)$, y el uso que para encontrar $f(z_2)$. Podemos repetir este método indefinidamente, ya que OP demostrado que $f(x) \not= x$, para todos los $x$. Todavía tenemos que encontrar los valores adecuados para $z_1$ $z_2$