No hay forma de que pueda responder a todas tus preguntas, así que me centraré en una pequeña parte e intentaré al menos explicar las "integrales de BRST". Mucho de lo que digo es probablemente bien conocido, pero también estoy en el proceso de escribir algunas conversaciones sobre este y otros temas relacionados con Dan Berwick Evans, y si hay algo aquí que sea nuevo, entonces es trabajo conjunto con él :) Para muchas ideas y definiciones básicas, también estoy en deuda con Rajan Mehta, así como con otras personas aquí en MO y en persona.
Recordemos que a (Lie) algebroide se compone de los siguientes datos:
- Un colector liso $X$
- Un haz vectorial $A \to X$
- Un soporte de Lie $[,]: \Gamma(A)^{\wedge 2} \to \Gamma(A)$
- Un mapa de haces vectoriales $\rho : A \to {\rm T}X$
No es necesario que el soporte Lie $\mathcal C^\infty(X)$ -lineal- más bien, por $a,b \in \Gamma(A)$ et $f\in \mathcal C^\infty(X)$ exigimos que $[a,fb] = \rho(a)[f] \cdot b + f\cdot [a,b]$ donde $\rho(a)[f]$ es la acción del campo vectorial $\rho(a) \in \Gamma({\rm T}X)$ en $f$ .
Existen dos ejemplos principales de algebroides de Lie:
- Cualquier subfondo integrable del haz tangente ${\rm T}X$ es un algebroide
- Si $\mathfrak g$ es un álgebra de Lie que actúa sobre una variedad $X$ entonces la acción equipa el haz vectorial trivial $\mathfrak g \times X$ con una estructura algebroide.
Recordemos también que a espacio vectorial graduado es un espacio vectorial (real) $V = \bigoplus_{n\in \mathbb Z} [n]V_n$ donde $V_n$ es un espacio vectorial clásico y el functor $[n]$ significa "ponerlo en grado $n$ ". La categoría de espacios vectoriales graduados es equivalente a la categoría de $U(1)$ -módulos. ( Edita: Como señala Scott Carnahan en los comentarios, complejo los espacios vectoriales graduados son equivalentes a $U(1)$ -pero real los espacios vectoriales graduados no lo son. Para un físico, la idea es que un espacio vectorial graduado tiene una "carga" o "energía" o "número" o como quieras llamarlo operador, que se cuantiza para tomar sólo valores enteros, y esto a menudo se llama un " $U(1)$ grupo calibre").
Esta categoría tiene un producto tensorial simétrico, que es el mismo producto tensorial que en la categoría de $U(1)$ -pero con la regla del signo de Koszul: si $a\in [m]V_m$ et $b\in [n]W_n$ entonces el isomorfismo canónico $[m]V_m \otimes [n]W_n \to [n]V_n \otimes [m]W_n$ es el que toma $a\otimes b$ a $(-1)^{mn}b\otimes a$ . Dado un espacio vectorial graduado (de dimensión finita) $V$ el álgebra de funciones polinómicas en $V$ es el álgebra simétrica (con respecto a la regla de Koszul) en su dual. El álgebra de funciones suaves sobre $V$ es la terminación de esta álgebra con respecto a la topología natural de Frechet: $\mathcal C^{\infty}(V) = \widehat{{\rm S}V^*}$ . (En particular, el generador de $\mathcal C^{\infty}([n]\mathbb R)$ está en grado $-n$ .) Por particiones de la unidad, se trata de una gavilla sobre $[0]V_0$ .
Por último, recordemos que a colector graduado es un múltiple $X$ y un haz de álgebras sobre $X$ que se parece localmente a la gavilla de funciones suaves sobre un espacio vectorial graduado. Toda variedad graduada es "afín": para presentar el conjunto, basta con presentar el álgebra de todas las funciones suaves. La categoría de variedades gradadas se comporta de forma muy parecida a la categoría de variedades. Los functores de "desplazamiento" se extienden a functores de haces vectoriales: si $A \to X$ es un haz vectorial de variedades (gradadas), entonces $[n]_XA \to X$ es el haz vectorial con la misma base, pero todas las fibras desplazadas en $n$ .
A Q-manifold es una variedad graduada $X$ junto con un campo vectorial de grado uno al cuadrado, es decir, una derivación $Q$ del álgebra $\mathcal C^\infty(X)$ que desplaza todos los elementos homogéneos un grado hacia arriba, y con $Q\circ Q = \frac12 [Q,Q] = 0$ . (El "conmutador" $[Q,Q]$ se toma con respecto a la regla de Koszul). Equivalentemente, un manifold Q es algo tal que $(\mathcal C^\infty(X),Q)$ es una dgca.
Cualquier algebroide da lugar a un Q-manifold, por alguna forma de Dualidad Koszul : si $(A\to X,[,],\rho)$ es un algebroide (clásico), entonces $[-1]_XA$ es naturalmente un Q-manifold. Sea $x^i$ sean coordenadas en $X$ et $a^\mu$ coordenadas de fibra en $[-1]_XA$ con las secciones correspondientes $a_\mu(x) \in \Gamma(A)$ y adoptar la convención de suma de Einstein. Supongamos que el corchete de Lie viene dado por las constantes de estructura $[a_\mu(x),a_\nu(x)] = E_{\mu,\nu}^\lambda(x) a_\lambda(x)$ y que $\rho(a)(x) = \rho^i_\mu(x) a^\mu \frac{\partial}{\partial x^i}$ . Entonces: $$ Q = \rho^i_\mu(x) a^\mu \frac{\partial}{\partial x^i} + \frac12 E_{\mu,\nu}^\lambda(x) a^\mu a^\nu \frac{\partial}{\partial a^\lambda}$$ Todo manifold Q $X$ para lo cual $\mathcal C^\infty(X)$ está generado por elementos de grados $0$ et $1$ tiene esta forma de manera canónica.
En términos más generales, y no voy a explicarlo en detalle, cualquier $\infty$ -algebroide da un Q-manifold. Un $\infty$ -algebroide consiste en un complejo de cadenas $0 \to A_n \to \cdots \to A_1 \to 0$ de haces vectoriales sobre $X$ junto con varios "soportes" de diferentes grados que satisfacen las condiciones de compatibilidad, y también con una "acción" $\rho : A_1 \to {\rm T}X$ . Entonces $\bigoplus_X [-n]A_n$ es un Q-manifold de forma natural. A Par Lie-Reinhardt es algo un poco más general que un algebroide - la única diferencia es que no requerimos $A \to X$ sea un haz vectorial, pero sólo que $\Gamma(A)$ sea una gavilla (¿cuasicoherente?) sobre $\mathcal C^\infty(X)$ . Entonces la teoría de los pares de Lie-Reinhardt es lo suficientemente geométrica como para que exista una buena versión "infinitizada" de la misma, y $\infty$ -son la versión bonita (del mismo modo que los haces vectoriales son más bonitos que las gavillas). El resultado es que $\infty$ -LR-pair structures move well across quasiisomorphisms of chain complexes of sheaves. En particular, si $X$ es un algebraico colector y $\mathcal D \subseteq \Gamma({\rm T}X)$ un subfondo algebraico integrable, entonces por Hilbert-Syzygy tiene una resolución finita en haces vectoriales, lo que da una Q-manifold.
Pero, de todos modos, permítanme seguir hablando de algebroids simplemente $A\to X$ y sus Q-manifolds asociados $[-1]A$ . Entonces $\mathcal C^\infty([-1]A)$ es dgca, como ya he dicho, y los matemáticos lo reconocerán como el "complejo Chevalley-Eilenberg de $A$ ", o "el complejo que calcula la cohomología algebroide de Lie". En los dos ejemplos anteriores, esta álgebra es:
- Para $A = {\rm T}X$ , $\mathcal C^\infty([-1]{\rm T}X)$ no es más que el complejo de Rham
- Para "algebroides de acción" $A = \mathfrak g \times X$ entonces $\mathcal C^\infty([-1]A)$ es precisamente el complejo de Chevalley-Eilenberg de $\mathfrak g$ con coeficientes en $\mathcal C^\infty(X)$ .
Desde el punto de vista de un matemático, la Construcción BRST no es ni más ni menos que una construcción diferente que calcula la misma cohomología. En particular:
Existe un functor "olvidadizo" de Q-manifolds a manifolds graded, y su adjunto derecho es precisamente $X \mapsto [-1]{\rm T}X$ . Sea $M$ sea un manifold Q (por ejemplo $M = [-1]A$ para un algebroide $A$ ), y $M \to X$ un mapa de variedades gradadas, y sea $B \to X$ sea una inmersión de variedades gradadas. Por la adjunción, obtenemos un diagrama: $$ \begin{matrix} && M \\ && \downarrow \\ [-1]{\rm T}B & \rightarrow & [-1]{\rm T}X \end{matrix} $$ La flecha inferior es una inmersión ya que $B \to X$ es. El pullback de este diagrama en la categoría de los Q-manifolds es el "Q-manifold pullback of $A$ a lo largo de $B\to X$ ". Si $M = [-1]A$ para un algebroide $A\to X$ y si $B\to X$ son variedades clásicas, entonces el pullback es naturalmente un algebroide sobre $B$ .
Sea $B \to X$ sea ahora un haz vectorial, que es ciertamente una inmersión. El Campo vectorial de Euler es el campo vectorial (de grado cero) en $B$ que genera el $\mathbb R^\times$ acción (por lo que en particular apunta en las fibras de $B$ ). Da lugar a una contracción de los complejos de cadenas a nivel de $[-1]{\rm T}$ : el mapa $B \to X$ determina un mapa $\mathcal C^\infty([-1]{\rm T}B) \leftarrow \mathcal C^\infty([-1]{\rm T}X)$ que en realidad es un cuasiisomorfismo. (Es decir: la cohomología de Rham del espacio total de un haz vectorial es la misma que la cohomología de Rham de la base). Además, si $D$ es el pullback de un Q-manifold $M$ a lo largo de un haz vectorial $B \to X$ entonces $D,M$ también son cuasi-iso.
Por lo tanto, si usted está interesado en la cohomología de algún Q-manifold $M$ eres libre de retirarlo. (Cualquier colector graduado $M$ tiene una "base" de manifolds clásicos $X$ que es el lugar de fuga de las funciones en grados distintos de cero, y siempre existe un mapa $M \to X$ aunque no suele ser canónico. Pero a menudo $M$ es un haz vectorial sobre $X$ - en el algebroide y $\infty$ -casos de algebroides, por ejemplo, sí lo hace).
En las aplicaciones, tenemos $M = [-1]A$ para un algebroide $A \to X$ y normalmente $A = \mathfrak g \times X$ . En $\mathfrak g = \operatorname{Lie}(G)$ para $G$ un grupo de Lie compacto conectado simplemente, la cohomología de $M$ calcula la "cohomología equivariante de $G$ actuando sobre $M$ ", así que es algo que sin duda preocupa a la gente.
Hasta aquí la geometría: los físicos quieren calcular integrales. Una buena noción de medida con soporte compacto en una variedad (graduada) $X$ es una función lineal continua $\mathcal C^\infty(X) \to 0$ . Temporalmente, que $X$ sea un espacio vectorial (graduado), y $\langle,\rangle$ simétrico (en el sentido de Koszul) sobre $X$ representada por la matriz $\langle x,y\rangle = x^T p x$ . Entonces nos gustaría tener, al menos para medidas "suaves" $\mu$ una fórmula de Gauss: $$\left( \int_{x\in X} \exp( \frac12 \langle x,x \rangle) \mu(x)\right)^2 \to \frac{\#}{\det p} $$ como soporte de $\mu$ se expande, donde $\#$ depende de la dimensión de $X$ (y la normalización de la medida), y $\det$ es el "super" determinante. Cuando $p$ es no degenerado, podemos conseguirlo, pero no podemos tener una buena teoría de la continuidad: en $[0]\mathbb R^2 \oplus [-1]\mathbb R^2$ tenemos: $$ \det \left( \begin{array}{cc|cc} \alpha &&& \\ & \alpha && \\ \hline &&& \beta \\ && -\beta & \end{array}\right) = \frac{\alpha^2}{\beta^2} $$ y por tanto hay muchos caminos de matrices simétricas (en el sentido de Koszul) que tienden a $0$ digamos, con diferentes determinantes.
En particular, la acción sobre $\mathbb R^2$ por sí misma por traslación, que está representada por la Q-manifold con subyacente graded manifold $X = [0]\mathbb R^2 \oplus [-1]\mathbb R^2$ , debe tener volumen $1$ ya que debe ser igual al cociente de $\mathbb R^2$ por su traducción, pero no podemos calcular $\int_X 1 = \int_X \exp(0) = \frac 0 0$ .
Bueno, podemos si recordamos que los Q-manifolds ponen restricciones sobre qué funciones son "físicas". A saber, realmente sólo las funciones "Q-cerradas" -aquellas $f$ con $Q[f] = 0$ - corresponden a "observables físicos". Así que una mejor definición de una "medida" es un funcional lineal continuo del álgebra de cerrado funciones a $\mathbb R$ . Además, debemos insistir realmente en que la medida por invariante bajo la acción de $Q$ esta condición es la misma que la condición de que la función lineal continua desaparezca en exacto funciones. Entonces: el espacio de Medidas Q en un manifold Q $M$ es precisamente el dual lineal continuo del cohomología de $\mathbb C^\infty(M)$ con respecto a la estructura Q.
Entonces, ¿qué sentido tiene? A menudo, se quiere hacer una integral oscilante de la forma $\int \exp(\frac i \hbar s)$ . Si $s$ tiene un punto crítico no degenerado, estás en el negocio: aplicas el método de la fase estacionaria, y la diagramática de Feynman/Dyson, y realmente puedes calcular cosas. Pero si el punto crítico de $s$ es degenerado, estás atascado. Bueno, casi: deberías intentar cambiar $s$ . Supongamos que estás en una Q-manifold $X$ que $s\in \mathcal C^\infty(X)$ está cerrado, y que $t \in \mathcal C^\infty(X)$ es exacta, y que estás trabajando con respecto a una medida Q. A continuación, puede comprobar por sí mismo (pista: hacer el caso cuando $t$ es infinitesimal) que $\int\exp(\frac i \hbar s) = \int \exp( \frac i \hbar (s+t))$ . Así que: tal vez usted puede encontrar un $t$ para que $s+t$ tiene un punto crítico no degenerado?
En general, un manifold Q no tiene suficientes funciones exactas para que esto sea viable. Pero la cuestión es que las medidas sólo ven la cohomología, así que eres libre de moverte a una variedad cuasi-isomorfa. (Las funciones retroceden pero las medidas empujan hacia delante, así que realmente quieres la propiedad cuasi-iso). Entonces a menudo se puede ganar.
En las aplicaciones, es así. Sea $A \to X$ sea un algebroide, $s\in \mathbb C^\infty(X)$ invariante bajo la $A$ -y supongamos que tiene una órbita crítica aislada. Sea $M = [-1]A$ , $B = [1]A^*$ y formar el pullback como arriba. Elija cualquier grado $(-1)$ función $\tau$ en $B$ que es lo mismo que elegir una sección de $A$ y que $t = Q[\tau]$ sea su función exacta. Una razón por la que elegí este $B$ es que las medidas de grado cero en el pullback (las que asignan valores distintos de cero a las funciones de grado cero) pueden representarse de la forma ${\rm d}x^1 \cdots$ y así podemos hacer cálculos, mientras que las medidas cohomólogas sobre $M$ no puede ser. De todos modos, queríamos $s+t$ para tener un punto crítico no degenerado. Esto ocurre (en la situación genérica) cuando el lugar de fuga de $\tau$ interseca la órbita crítica de $s$ transversalmente.
Si escribes cuál es la integral total de $\exp(\frac i \hbar (s+t))$ es sobre el pullback, se pueden identificar las componentes (hasta Fourier y algunos argumentos a un nivel de rigor "físico") con una integral sobre $X$ de $\exp(\frac i \hbar s)$ contra una distribución delta apoyada en el lugar cero de $\tau$ (y se incluye el término de Jacobi correcto). Esta integral de distribución delta es lo que hicieron originalmente Faddeev y Popov; el argumento BRST que he esbozado vino después, y creo que el lenguaje "algebroide" es bastante nuevo.
