¿Qué es el $F_{k,\infty}$ es decir, $F$ cuando el segundo grado de libertad se aproxima a infinito? Me pregunto si existe una distribución conocida(como por ejemplo $\chi_k^2$ ) al que converge.
Respuesta
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La distribución F es la distribución del cociente de dos variables aleatorias chi-cuadrado escalares independientes, por lo que tenemos la forma general $F_{k_1,k_2} \sim (k_2 \chi^2_{k_1})/ (k_1 \chi^2_{k_2})$ . En $k_2 \rightarrow \infty$ tenemos el límite $\chi^2_{k_2}/k_2 \rightarrow 1$ por lo que si aplicamos Teorema de Slutsky vemos que la distribución F converge a una distribución chi-cuadrado escalada:
$$F_{k_1,k_2} \rightarrow \frac{\chi^2_{k_1}}{k_1}.$$
Obsérvese que la distribución chi-cuadrado escalada es una distribución extremadamente útil en el análisis estadístico (tanto que probablemente debería haber sustituido a la distribución chi-cuadrado; véase la discusión aquí ).
Prueba directa: La explicación heurística anterior utiliza las propiedades de la distribución F de Snedecor basada en su derivación de variables aleatorias chi-cuadrado. Sin embargo, es sencillo demostrar directamente el resultado anterior tomando los límites del núcleo de densidad. El núcleo de densidad para la distribución Snedecor F puede escribirse como:
$$\begin{align} \text{Snedecor-F}(x|k_1,k_2) &\propto \frac{1}{x} \sqrt{\frac{k_1^{k_1} k_2^{k_2} x^{k_1}}{(k_1x+k_2)^{k_1+k_2}}} \\[6pt] &\propto x^{k_1/2 - 1} \bigg( \frac{k_2}{k_1x+k_2} \bigg)^{(k_1 + k_2)/2} \\[6pt] &= x^{k_1/2 - 1} \bigg( 1 + \frac{k_1x}{k_2} \bigg)^{-(k_1 + k_2)/2} \\[6pt] &= x^{k_1/2 - 1} \bigg( 1 + \frac{k_1+k_2}{k_2} \cdot \frac{k_1x}{2} \cdot \frac{1}{(k_1+k_2)/2} \bigg)^{-(k_1 + k_2)/2}. \\[6pt] \end{align}$$
En $k_2 \rightarrow \infty$ obtenemos entonces el límite:
$$\begin{align} \text{Snedecor-F}(x|k_1,k_2) &\propto x^{k_1/2 - 1} \bigg( 1 + \frac{k_1+k_2}{k_2} \cdot \frac{k_1x}{2} \cdot \frac{1}{(k_1+k_2)/2} \bigg)^{-(k_1 + k_2)/2} \\[6pt] &\rightarrow x^{k_1/2 - 1} \bigg( 1 + \frac{k_1x}{2} \cdot \frac{1}{(k_1+k_2)/2} \bigg)^{-(k_1 + k_2)/2} \\[6pt] &\rightarrow x^{k_1/2 - 1} \exp \bigg( - \frac{k_1 x}{2} \bigg) \\[12pt] &\propto \text{ScaledChiSq}(x|k_1). \\[6pt] \end{align}$$
Como puede verse, en el límite el núcleo de la densidad F de Snedecor se aproxima al núcleo de la densidad chi-cuadrado escalada. Dado que la convergencia de los núcleos de densidad implica la convergencia en la distribución, esto es suficiente para demostrar que la distribución F de Snedecor converge a la distribución chi-cuadrado escalada. $\blacksquare$
