Estoy leyendo Multiple View Geometry in Computer Vision, de Hartley y Zisserman, y en la página 2 se afirma que los puntos en el infinito en el espacio proyectivo bidimensional forman una línea, y en tres dimensiones forman un plano.
No es una pregunta matemáticamente rigurosa, pero ¿podría alguien ayudarme a entender (al menos geométricamente) qué significa esto?
Parte del valor de pensar en añadir puntos "en el infinito" al plano euclídeo (construyendo así el plano proyectivo) y trabajar con el plano proyectivo es que en el plano proyectivo hay simetría entre puntos y rectas. Dado que cada par de puntos determina una recta, cada par de rectas debería determinar un punto. Para las rectas $L$ y $M$ que son paralelos en el plano euclidiano decimos que el (nuevo) punto $p$ en el que se encuentran es "en el infinito". Supongamos $q$ es un punto del plano euclidiano. Debe haber una línea que una $p$ y $q$ . I resulta ser la línea a través de $q$ en paralelo a $L$ . Pensemos ahora en dos puntos situados en el infinito, sobre dos rectas euclídeas no paralelas. Deben determinar una recta proyectiva. Los axiomas funcionan perfectamente cuando esa recta contiene precisamente todos los puntos en el infinito.
Cuando se construye un espacio proyectivo tridimensional a partir de un espacio euclidiano tridimensional, el mismo tipo de argumento conduce al plano en el infinito.
Sospecho que, al pensar en la visión por ordenador, a menudo hay que manipular una proyección de alguna figura sólida sobre un plano. Si trabajas en un espacio proyectivo nunca tienes que tratar las líneas paralelas como un caso especial. Mira más allá de la página 2 de tu libro para encontrar lugares donde surja algo así.
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