¿Qué suma se convierte en una integral definida? $\sum_{i=0}^n \frac {e ^ i}{n}$ o $\sum_{i=0}^n \frac {e ^ \frac{i}{n}}{n}$ ¿O ninguno de los dos lo hace?
Me he encontrado con problemas como $ \lim_{n_\to infinity} (\frac{n!}{n^n})^\frac{1}{n}$ . Cuando tomamos un logaritmo de este límite, el producto de n! y n.n.n. ... n se convierte en una suma, mientras que el exponente 1/n se convierte en un término común para toda la suma. Esta expresión se convierte ahora en una integral definida de 0 a 1, como se explica en https://www.youtube.com/watch?v=89d5f8WUf1Y .
Sospecho que una de las dos sumas mencionadas, debido a la presencia de 1/n como término, puede convertirse en una integral definida. ¿Es esto cierto? Si es así, ¿es la suma con $e^i$ o $e^\frac{i}{n}$ ?
No creo que $e^i$ suma puede converger, ya que la suma es esencialmente una suma de una GP, y la $\frac{(e)\frac{(e^{n} - 1 )}{e - 1}}{n}$ tiende a infinito cuando n va a infinito. Por otra parte, con $e^{i/n}$ suma, se convierte en $\frac{(e)\frac{(e - 1 )}{e ^\frac{1}{n} - 1}}{n}$ que creo que se simplifica a e. (e - 1)
Mientras tecleo esto, también tengo la sensación de que quizá he mezclado integrales definidas con una serie geométrica. ¿Puede alguien explicarlo y aclararlo?
Mi pregunta -reiterada- es, ¿cuál de las dos sumas dadas puede convertirse en una integral definida? ¿La primera, la segunda o ninguna?
