Espacio de funciones de prueba $\mathcal{D}$

Question

En $\mathbb{R}$ , dejemos que $\psi(x)=e^{-1/x^2}$ para $x>0$ y cero en caso contrario. Si $\mathcal{D}$ es la clase de funciones de prueba, $\phi\in \mathcal{D}(a<x<b)$ para $\phi = \psi(x)\psi(1-x)$ siempre que $a<0$ y $b>1$ . Por qué no puede ser que $a\leq 0$ y $b\geq 1$ ?

$\phi(x)$ tiene derivadas continuas para todos los órdenes y desaparece fuera de $0<x<1$ así que no veo por qué $a<0$ y $b>1$ para $\phi$ para ser una función de prueba adecuada.

EDITAR: Tengo la definición: La clase de funciones de prueba $\mathcal{D}(\Omega)$ consiste en todas las funciones $\phi$ definido en $\Omega$ que desaparece fuera de un conjunto acotado $\Omega$ que se aleja del límite de $\Omega$ y tal que todas las derivadas parciales de todos los órdenes de $\phi$ son continuas.

Así que en este punto (en principio) no sé nada sobre el apoyo.

Answer 1

La función $\phi$ se define en $(a,b)$ (si queremos que pertenezca a $\mathcal D((a,b))$ ). Si $0<a<1<b$ entonces su soporte es $(a,1]$ que no es compacto, y por lo tanto $\phi\notin \mathcal D((a,b))$ .

Editar

Para una función $f:X\to \mathbb R$ (donde $X$ es un espacio topológico), el soporte de $f$ es el cierre de $f^{-1}(\mathbb R\backslash \{0\})$ .

Su definición de $\mathcal D((a,b))$ como "mantenerse alejado del límite" equivale entonces a lo siguiente : $\phi \in \mathcal D((a,b))$ si y sólo si su soporte es compacto (y es suave).

Su función $\phi$ se define en el intervalo $(a,b)$ por lo que su soporte es : $$\operatorname{supp}(\phi) = (a,b)\cap[0,1]$$

Si $[0,1]\subset (a,b)$ entonces el soporte es igual a $[0,1]$ y es compacto.

Si $[0,1]\not \subset (a,b)$ entonces $\operatorname{supp}(\phi)$ ya no es compacto. Por ejemplo, si $0<a<1<b$ entonces $(a,b)\cap [0,1] = (a,1]$ que no es compacto (aunque es cerrado en $(a,b)$ ).