¿Dónde está el fallo en mi razonamiento sobre el número de polinomios irreducibles de grado 9 sobre $\mathbb F_2$ ?

Question

Conozco la fórmula para el número de polinomios de grado $n$ sobre un campo finito, y que da 56 para este caso particular, pero quería saber por qué la siguiente línea de pensamiento es incorrecta.

Sea $X = \{f(t) \in \mathbb F_2[t] \mid f \text{ is irreducible and of degree } 9\}$

Entonces $\forall f \in X, f$ es automáticamente mónico y por tanto separable, ya que de lo contrario por irreducibilidad tendríamos $f \in \mathbb F_2[t^2]$

De ello se deduce que si $f,g$ compartieran una raíz $\alpha$ entonces, como ambos son mónicos e irreducibles, ambos serían un polinomio mínimo para $\alpha$ en $\mathbb F_2$ . Por lo tanto, por unicidad de polinomios mínimos, tenemos $f,g$ .

Así que ahora considere $F(t)$ un producto de cada polinomio en $X$ . Debemos tener entonces que $F$ es separable y, por tanto, el campo de separación $L$ de $F$ en $K$ es Galois, cíclico y el grado de la extensión es igual al mínimo común múltiplo de los grados de todos los factores irreducibles de $F$ .

Por lo tanto $|L:K| = 9$ y así vemos que cada $f(t) \in X$ se divide en $L \cong \mathbb F_{2^9}$ . Ahora bien, como los polinomios de $X$ tienen raíces distintas, y son separables por lo que tienen $9$ raíces distintas en un campo de división, vemos que $X$ está limitada por $\frac{|\mathbb F_{2^9}|}{9} = \frac{512}{9} = 56\frac{8}{9}$ .

Ahora tenemos que descontar cada raíz en $\mathbb F_2$ en nuestro recuento, porque éstos tienen polinomios mínimos lineales. Además, pensé que también habría que descontar las raíces de $\mathbb F_{2^8}$ ya que por la misma lógica, los polinomios de grado 8 o menos forman colecciones disjuntas de raíces en este campo.

Por esta razón, en realidad tenía el límite superior $\frac{512-2-256}{9} = \frac{254}{9} = 28$ .

Ahora, comparando estos dos resultados con la respuesta real de $56$ Tengo dos preguntas:

1. ¿Por qué era incorrecto descontar $\mathbb F_{2^8}$ cuando considero las raíces que realmente podrían pertenecer a un irreducible de grado $9$ ¿polinomio?
2. Utilizando este argumento sólo podría concluir que $|X| \leq 56$ ¿pero cómo garantizaría la igualdad? Esto parece sugerir que para alguna partición (incompleta en el sentido de que algunos elementos pueden quedar fuera) de $\mathbb F_{2^9}$ en $56$ conjuntos de tamaño $9$ que cada conjunto corresponde a un polinomio en $\mathbb F_2[t]$ pero no consigo ver cómo podemos tener este nivel de confianza en los coeficientes del polinomio. ¿Hay alguna manera de modificar este argumento con el fin de encontrar el tamaño exacto de $X$ ¿o necesitaría un enfoque diferente?

Answer 1

El campo finito $\mathbb F_{p^m}$ se encuentra en $\mathbb F_{p^n}$ sólo si $m | n$ . (Prueba de "sólo si": si $\mathbb F_{p^m} \subset \mathbb F_{p^n}$ entonces este último es un espacio vectorial sobre el primero, de dimensión finita $d$ y luego $(p^m)^d = p^n$ y así $md = n$ .) En particular, $\mathbb F_{2^8}$ no está contenido en $\mathbb F_{2^9}$ los únicos subcampos de $\mathbb F_{2^9}$ son $$\mathbb F_2 \subset \mathbb F_{2^3} \subset \mathbb F_{2^9}.$$ Así que los elementos de $\mathbb F_{2^9}$ que debe descontar son precisamente las contenidas en $\mathbb F_{2^3}$ . Repitiendo sus cálculos se obtiene $\frac{512 - 8}{9} = 56$ . Para demostrar que se trata de una respuesta exacta, observe que cada elemento de $\mathbb F_{2^9}$ no contenida en $\mathbb F_{2^3}$ genera realmente $\mathbb F_{2^9}$ como $\mathbb F_2$ -tiene un polinomio mínimo irreducible de grado 9, y cada polinomio corresponde exactamente a 9 elementos de campo.