Sobre un soporte compacto de una medida

Question

Sea $\mu$ sea una medida sobre el Borel- $\sigma$ -campo de $\mathbb{R}$ tal que $\mu (\mathbb{R})=1$ . Recordemos que el soporte de $\mu$ es el mayor conjunto cerrado $C$ tal que para todos los conjuntos abiertos $U$ con $U\cap C \neq \phi$ tenemos $\mu(U)>0$ . Supongamos que toda función continua de valor real sobre $\mathbb{R}$ es integrable con respecto a $\mu$ . Demostrar que el soporte de $\mu$ es compacto.

Creo que todo lo que necesitamos probar es que tal $C$ está limitada. Entonces por Heine-Borel podemos concluir $C$ es compacto. Pero la mera integrabilidad de una función continua con respecto a $\mu$ no me va a ayudar a demostrar que $C$ está acotado. Entonces, ¿cuál será el mejor enfoque posible para ese problema?

Answer 1

Sea $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb Z}$ sea una sucesión de números reales positivos. Sea $f_n$ sea una función continua con soporte en $(n-1,n+2)$ tal que $0\leqslant f_n(x)\leqslant a_n$ para todos $x$ y $f_n(x)=a_n$ para $x\in (n,n+1]$ . Defina $f\colon x\mapsto \sum_{n\in\mathbb Z}f_n(x)$ (la definición tiene sentido, ya que para todo $x$ el número de términos en $\sum_{n\in\mathbb Z}f_n(x)$ que no desaparecen es como máximo $3$ ). Dado que la convergencia es uniforme en conjuntos compactos, la función $f$ es continua, por lo que $$ +\infty\gt \int_{\mathbb R}f(x)\mathrm d\mu(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R}f_n(x)\mathrm d\mu(x)\geqslant \sum_{n\in\mathbb Z}\int_{(n,n+1]}f_n(x)\mathrm d\mu(x).$$ Esto demuestra que para cualquier secuencia $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb Z}$ de números reales positivos, la serie $\sum_{n\in\mathbb Z}a_n\mu\left((n,n+1]\right)$ converge. Una buena elección permite concluir.

Answer 2

Si $\operatorname{supp}(\mu)$ no estuviera acotada, podríamos encontrar una secuencia $(x_n)$ con $\lim_n x_n =\infty$ y una secuencia de vecindades disjuntas $(N_n)$ de $x_n$ tal que para todo $n \in \mathbb N$ , $\mu(N_n)>0$ .

Podemos encontrar para cada $n$ un intervalo $I_n$ de longitud $\delta_n$ centrado en $x_n$ e incluido en $N_n$ . A partir de ahí, para cada $n$ podemos construir una función continua con soporte incluido en $I_n$ y de integral mayor que $1$ . La suma $f$ de esas funciones converge ya que todos sus soportes son disjuntos. Y la integral de $f$ no tiene límites, lo que contradice nuestra hipótesis.