Pushforward derivado de divisores excepcionales

Question

Sea $f: X \to Y$ sea un morfismo birracional entre variedades proyectivas lisas. Supongamos que $E$ es un divisor efectivo excepcional de $f$ . Entonces es bien sabido que $f_*(\mathcal{O}_X(E)) = \mathcal{O}_Y$ (véase, por ejemplo, "Higher-dimensional algebraic geometry" de Debarre, página 177, apartado 7.12).

Mi pregunta es cómo se deriva pushforward $\mathbf Rf_* \mathcal{O}_X(E)$ de $\mathcal{O}_X(E)$ ¿Cómo es? ¿Sigue siendo $\mathcal{O}_Y$ ?

Answer 1

Supongo que la respuesta es no. Deja que $X$ sea la ampliación de $\mathbb{P}^2$ en el punto $p$ y que $E$ sea la curva excepcional. Además, sea $f$ sea la reducción al espacio proyectivo. Entonces, $\mathcal{O}_X(E)|_E \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1)$ .

Consideremos la secuencia exacta corta $$ 0 \rightarrow \mathcal{O}_X (E) \rightarrow \mathcal{O}_X (2E) \rightarrow \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-2) \rightarrow 0. $$

Las imágenes directas superiores del mapa $E \rightarrow \lbrace p \rbrace$ calcular la cohomología en $\mathbb{P}^1$ . Además, tenemos $R^1 f_* \mathcal{O}_X(E) = R^2 f_* \mathcal{O}_X(E)=0$ persiguiendo la secuencia exacta $$ 0 \rightarrow \mathcal{O}_X \rightarrow \mathcal{O}_X (E) \rightarrow \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1) \rightarrow 0. $$

Por lo tanto, tomando imágenes directas superiores de la secuencia exacta corta anterior, obtenemos $$ 0 \rightarrow R^1 f_* \mathcal{O}_X(2E) \rightarrow H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-2)) \rightarrow 0. $$

Así, obtenemos $R^1 f_* \mathcal{O}_X(2E) \cong H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-2))=k$ donde $k$ es el campo de tierra.