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Pushforward derivado de divisores excepcionales

Sea f:XY sea un morfismo birracional entre variedades proyectivas lisas. Supongamos que E es un divisor efectivo excepcional de f . Entonces es bien sabido que f(OX(E))=OY (véase, por ejemplo, "Higher-dimensional algebraic geometry" de Debarre, página 177, apartado 7.12).

Mi pregunta es cómo se deriva pushforward RfOX(E) de OX(E) ¿Cómo es? ¿Sigue siendo OY ?

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hofmeister Puntos 127

Supongo que la respuesta es no. Deja que X sea la ampliación de P2 en el punto p y que E sea la curva excepcional. Además, sea f sea la reducción al espacio proyectivo. Entonces, OX(E)|EOP1(1) .

Consideremos la secuencia exacta corta 0OX(E)OX(2E)OP1(2)0.

Las imágenes directas superiores del mapa E{p} calcular la cohomología en P1 . Además, tenemos R1fOX(E)=R2fOX(E)=0 persiguiendo la secuencia exacta 0OXOX(E)OP1(1)0.

Por lo tanto, tomando imágenes directas superiores de la secuencia exacta corta anterior, obtenemos 0R1fOX(2E)H1(P1,OP1(2))0.

Así, obtenemos R1fOX(2E)H1(P1,OP1(2))=k donde k es el campo de tierra.

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