¿Cuál es el dominio de $x^x$ como función de valor real?

Question

Considere la función $f(x) = x^x$ .

Wolfram alpha me dice que el dominio de esta función es $x : x>0$ , $x \in \mathbb{R}$ . No veo por qué no se puede definir para un número como $(-2)$ . Es decir $(-2)^{-2}=0.25$ , me dijo el mismo Wolfram Alpha. Me doy cuenta de que las potencias fraccionarias para números negativos pueden causar problemas, pero se podría definir para números enteros. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Para la mayoría de los fines (incluida la controvertida cuestión de qué hacer con $0^0$ ) se puede considerar cualquier caso de exponenciación $x^y$ (donde $x,y$ puede representar expresiones) para representar una de dos definiciones bastante dispares que coinciden en la intersección de sus dominios:

1. Si $y$ designa un número entero, entonces $x^y$ se define algebraicamente; recursivamente por $x^0=1$ y $x^{n+1}=xx^n$ para el caso $y\geq0$ y siempre que $x$ es invertible por $x^{-n}=(x^{-1})^n$ para $y<0$ .

2. En otros casos hay que suponer que $x$ es real y positivo, y $x^y$ significa $\exp(y\ln x)$ (nótese que no he escrito $e^{y\ln x}$ lo que daría lugar a una definición circular). Aquí $\exp$ es una función perfectamente definida $\Bbb C\to\Bbb C$ por lo que se puede permitir $y$ para ser cualquier número complejo (o incluso uno podría divertirse tomando matrices cuadradas para $y$ ), pero $x$ debe restringirse para evitar la ambigüedad de $\ln x$ . Por supuesto, se puede ampliar la definición con opciones para $\ln x$ pero usando un $x^y$ para estos casos sería confuso, y además hay que tener en cuenta que muchas propiedades de la exponenciación empezarán a fallar.

Dado esto, la función real $x\to x^x$ sólo puede definirse utilizando la segunda variante, que justifica que el dominio sean los reales (estrictamente) positivos. En podría ampliar el dominio para que contenga también los enteros no positivos (utilizando la primera definición), pero mezclando las dos definiciones de $x^y$ en un solo uso no suele ser una idea muy fructífera.

Answer 2

Aunque tome $x=0$ , $f(x)=0^0 $ es una forma indeterminada. $f(x)$ se define para todos los valores positivos de $x$