¿Cómo podemos demostrar que $\mathcal F_\tau\cap\left\{\tau=t\right\}=\mathcal F_t$ ? para cualquier $\mathcal F$ -tiempo de parada $\tau$ ?

Question

Sea

• $(\Omega,\mathcal A)$ sea un espacio medible
• $I\subseteq\mathbb R$
• $(\mathcal F_t)_{t\in I}$ sea una filtración de $\mathcal A$

Si $\tau$ es un $\mathcal F$ -tiempo de parada, entonces $$\mathcal F_\tau:=\left\{A\in\mathcal A:A\cap\left\{\tau\le t\right\}\in\mathcal F_t\text{ for all }t\in I\right\}\;.$$ Si $A\subseteq\Omega$ y $\mathcal G$ es un $\sigma$ -en $\Omega$ entonces $$\left.\mathcal G\right|_A:=\left\{A\cap B:B\in\mathcal G\right\}\;.$$

Es fácil demostrar que $$\left.\mathcal F_\sigma\right|_{\left\{\:\sigma\:\le\:\tau\:\right\}}\subseteq\mathcal F_{\sigma\:\wedge\:\tau}=\mathcal F_\sigma\cap\mathcal F_\tau\tag1$$ para cualquier $\mathcal F$ -tiempos de parada $\sigma,\tau$ . Ahora, dejemos que $\tau$ ser un $\mathcal F$ -tiempo de parada y $t\in I$ . Quiero demostrar que $$\left.\mathcal F_\tau\right|_{\left\{\:\tau\:=\:t\:\right\}}=\mathcal F_t\tag2\;.$$

Si $\tau\equiv t$ entonces es fácil observar que $$\mathcal F_\tau=\mathcal F_t\;.\tag3$$

¿Cómo podemos concluir $(2)$ de $(1)$ y $(3)$ ?

Answer 1

Esto no es cierto porque $\{\tau\ne t\}\notin\mathcal{F}_{\tau}\mid_{\{\tau=t\}}$ pero $\{\tau\ne t\}\in \mathcal{F}_t$ . En su lugar, puede demostrar que $$ \mathcal{F}_{\tau}\mid_{\{\tau=t\}}=\mathcal{F}_t\mid_{\{\tau=t\}} .^1 $$

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$^1$ Para cualquier $(\mathcal{F}_t)$ -tiempos de parada $\tau$ y $\sigma$ , $\mathcal{F}_{\sigma}\mid_{\{\sigma=\tau\}}=\mathcal{F}_{\tau}\mid_{\{\tau=\sigma\}}$ (si $A\in\mathcal{F}_{\sigma}\cap \{\sigma=\tau\}$ para cada $t\in I$ , $A\cap\{\sigma\le t\}=A\cap\{\tau\le t\}\in \mathcal{F}_t$ . Así $A\in \mathcal{F}_{\tau}$ ). Ahora toma $\sigma\equiv t$ .