¿Qué subcampos de las matemáticas se prestan mejor a la visualización?

Question

En algunas de mis clases (por ejemplo, teoría de grafos o mecánica), los profesores animan a los alumnos a visualizar las soluciones a los problemas; me va bien en estas clases. En otras clases (por ejemplo, álgebra lineal), en cambio, nos animan a razonar sobre conceptos abstractos; normalmente me va peor en estas clases (en relación con el mismo grupo de compañeros). Mis profesores han corroborado mi sospecha de que la utilidad de la visualización depende del tipo de problema que se resuelva.

En general, parece que me va bien con la visualización, pero me cuesta más razonar sobre fórmulas simbólicas o entidades abstractas.

¿Ha encontrado la gente aquí que ciertas áreas de las matemáticas se prestan mejor a tipos específicos de razonamiento matemático? Estoy especialmente interesado en identificar más asignaturas de matemáticas y ciencias que enfaticen el razonamiento visual, ya que disfruto mucho con estas asignaturas.

Answer 1

Entre las clases que se prestan sin duda a la visualización figuran la teoría de grafos y la mecánica, y espero que también te vaya bien en geometría clásica. En otros casos, puede depender del libro que utilices. Por ejemplo, estoy seguro de que que disfrutarías con el enfoque del análisis complejo en el libro de Tristan Needham Análisis visual de complejos (Oxford University Press 1997), mientras que puede otros libros de análisis complejo.

Por todos los medios, utilice su fuerza en la visualización para afianzarse en varias áreas de las matemáticas (esto también debería ser posible en álgebra lineal), pero intenta desarrollar otros puntos fuertes también, ya que los necesitarás en algún momento.

Answer 2

Dado que la geometría y el álgebra se descubren a menudo como las dos caras de un mismo fenómeno, le sugiero que desarrolle su intuición geométrica para comprender los fenómenos algebraicos. Un ejemplo típico es utilizar el formalismo tensorial abstracto para comprender las álgebras de Hopf. Desde mi experiencia personal, las álgebras de Hopf no cobraron vida hasta que comprendí que los axiomas podían dibujarse como pequeños trozos de cuerda. Ahora, cuando escucho una charla sobre álgebras de Hopf, intento imaginar la demostración mediante estos diagramas.

Esto me lleva a un segundo punto que nadie ha sugerido todavía. teoría de nudos es un tema intrínsecamente visual en el que se entra fácilmente por intuición geométrica.

Para progresar de verdad como matemático investigador, quizá tenga que desarrollar también herramientas para la manipulación de símbolos. La geometría siempre puede ser una guía para descubrir las fórmulas. La teoría de nudos, los tensores abstractos, el álgebra lineal y la teoría de grupos se abordan fácilmente mediante técnicas geométricas. Muchos de nosotros nos deleitamos cuando un concepto algebraico arcano se reinterpreta como un concepto geométrico. geométrico.

Answer 3

Para empezar con una especie de anti-respuesta, cuando tomé cursos de álgebra (no álgebra lineal - me refiero a grupos, anillos, módulos, etc.) o teoría de la representación como estudiante, me pareció prácticamente imposible llegar a ninguna parte tratando de visualizar lo que estaba pasando. Supongo que, coincidiendo con otras respuestas, lo importante es que entendí el material de otra manera.

En cambio, y como usted dice, algunas partes de la combinatoria son ciertamente muy visuales. Y (¿obviamente?) la topología (no tanto los conjuntos de puntos del primer curso, sino las cosas de verdad) y la geometría diferencial (al menos) pueden ser temas muy visuales. Puede ser muy divertido tratar de encontrar formas de utilizar la inituición geométrica para atacar algo que está aparentemente fuera del alcance visual (por ejemplo, en 4 dimensiones o algo no incrustado en $R^3$ etc.)

En estos momentos me interesa el análisis geométrico, donde he encontrado algunas de las cosas más agradablemente visuales hasta la fecha.

Answer 4

Entiendo que tus profesores quieran alejarte de las falsas intuiciones basadas en la visualización, pero incluso las falsas intuiciones pueden ser útiles, ya que a menudo sugieren una posible demostración (que luego descubres que no se cumple en general) para que al menos puedas empezar a trabajar en un problema.

Para mí, el álgebra lineal es una asignatura "visual": hay bonitas interpretaciones geométricas de las transformaciones lineales (líneas de conservación, paralelismo, intersecciones, etc.) que personalmente encuentro muy útiles en mi trabajo.

Me has pedido consejos prácticos: aquí tienes los míos: Haz lo que te funcione para resolver problemas, haz lo que te digan tus profesores para aprobar el curso.

Answer 5

Al profundizar en este tema, creo que descubrirá que la distinción que hace entre visualización y razón es engañosa. Considere, por un lado, la forma en que Courant y Robbins en ¿Qué son las matemáticas? utilizar conjuntos de puntos en cajas rectangulares para explicar las leyes de la aritmética de los números enteros, y por otra parte, la interesante observación del lógico Dale Jacquette: "Como muchos otros lógicos, por tanto, puedo decir que me sentí atraído a estudiar lógica en parte por la 'belleza', o, como prefiero decir, el absorbente interés visual, de la sintaxis lógica" ( Masas de filosofía formal 59).

Quizá le interesen cuatro "experimentos" que Timothy Gowers realizó en su WordPress blog para comprender cómo piensa la gente cuando hace matemáticas.