Teorema de Convolución e Intuición de la Densidad Marginal.

Question

En términos de densidad marginal, ¿cómo se sabe que sumando sobre el $x$ (o más bien a lo largo de la línea lineal) para la densidad conjunta de $(x,z-x)$ nos dan la función de densidad de $z$ ? Y lo que es más importante, ¿alguien puede explicarlo de forma intuitiva? (aparte de las pruebas)

Answer 1

Miras la fórmula final y buscas la intuición en lugar de pensar cómo se ha llegado a ella. De hecho, el "proceso proceso de pensamiento" que su libro ofrece como explicación de la fórmula deja mucho que desear (por ejemplo, pone densidad conjunta entre comillas en lugar de suma ). Esto es lo que escribí en una respuesta anterior:

Sea $Z = X+Y$ . Para cualquier fijo valor de $z$ , $$F_Z(z) = P\{Z \leq z\} = P\{X+Y \leq z\} = \int_{-\infty}^{\infty}\left[ \int_{-\infty}^{z-x} f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm dy\right]\,\mathrm dx$$ y así, usando la regla para diferenciar bajo el signo integral (véanse los comentarios siguientes esta respuesta si lo ha olvidado) $$\begin{align*} f_Z(z) &= \frac{\partial}{\partial z}F_Z(z)\\ &= \frac{\partial}{\partial z}\int_{-\infty}^{\infty}\left[ \int_{-\infty}^{z-x} f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm dy\right] \,\mathrm dx\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial z}\left[ \int_{-\infty}^{z-x} f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm dy\right]\,\mathrm dx\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,z-x)\,\mathrm dx\tag{1} \end{align*}$$ En $X$ y $Y$ son variables aleatorias independientes, la densidad conjunta es el producto de las densidades marginales y obtenemos la fórmula de convolución fórmula $$f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx ~~ \text{for independent random variables} ~X~\text{and}~Y.\tag{2}$$

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Tanto por las matemáticas. ¿Qué pasa con el "proceso de pensamiento" que puede dar una intuición de por qué la integral de convolución da la densidad de $Z = X+Y$ ? Bueno, recuerda que $f_Z(z)$ es un densidad (medido en unidades de probabilidad masa/longitud) y no un probabilidad. De hecho, $P\{Z = z\} = 0$ para todos $z$ mientras que la probabilidad del suceso $A$ que $Z$ tiene valor dentro de a pequeño intervalo de longitud $\Delta z$ centrado en $z$ est $$P(A) = P\left\{z - \frac{\Delta z}{2} < Z < z + \frac{\Delta z}{2}\right\} \approx f_Z(z)\Delta z.$$ Ahora, en términos de $(X,Y)$ tenemos que el acontecimiento se produce $A$ se produce siempre que punto aleatorio $(X,Y)$ se encuentra dentro de una franja diagonal delimitada por el líneas $x+y = z + \frac{\Delta z}{2}$ y $x+y = z - \frac{\Delta z}{2}$ . Estas líneas cruzan el eje vertical en los puntos $(0, z + \frac{\Delta z}{2})$ y $(0, z - \frac{\Delta z}{2})$ es decir, el vertical separación de las líneas es $\Delta z$ .

Ahora, podemos encontrar $P(A)$ dividiendo esta franja diagonal mediante líneas verticales espaciadas $\Delta x$ separadas, creando así estrechos paralelogramos cuyos lados verticales son de longitud $\Delta z$ y están espaciados $\Delta x$ y cuyo centro es $(x_i,z-x_i)$ . Así, $$P\{(X,Y) \in \text{parallelogram}\} \approx f_{X,Y}(x_i,z-x_i)\times \{\text{area of parallelogram}\} = f_{X,Y}(x_i,z-x_i) \Delta x \Delta z$$ para que $$P(A) = f_Z(z)\Delta z = \left[\sum_i f_{X,Y}(x_i,z-x_i) \Delta x\right]\times \Delta z. \tag{3}$$ La cantidad entre corchetes en $(3)$ es una suma (de hecho una suma de Riemann) y tomando el límite como la paralelogramos se hacen cada vez más estrechos, esa suma se convierte en una integral, es decir, $(3)$ conduce a $$f_Z(z)\Delta z = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,z-x) \, \mathrm dx\times \Delta z$$ demostrando así $(1)$ . Se encuentra en ce sentido que The pdf of $Z$ is simply the sum of the "joint density" at the points of the line $z = x+y$ como afirma su libro.

Personalmente, prefiero el enfoque FCD al enfoque cálculos tan engorrosos y "procesos mentales" tan poco elegantes.

Answer 2

Si las variables son independientes, se tiene $$f_{XY}(x,y) = f_X(x)f_y(y).$$ Por lo tanto $$P(X + Y \le x) = \iint_{(s,t)|s+t\le x} f_X(s)f_y(t)\,ds\,dt = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^{x - t} f_X(s)f_Y(t)\,ds\,dt$$ Ahora diferencie e invoque la regla de Leibnitz para obtener $$f_{X+Y}(x) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x-t)f_Y(t)\,dt = (f_X*f_Y)(x).$$