Clasificación de soluciones de baja dimensión de la ecuación de Yang-Baxter

Question

¿Cuál es la situación actual de la clasificación de soluciones de la ecuación de Yang--Baxter en dimensiones bajas?

Para concretar mi pregunta, ¿tienen todas las soluciones de dimensión $2$ y $3$ ¿se ha clasificado?

Answer 1

Sea $(V,c)$ sea un espacio vectorial trenzado, es decir: $V$ es un espacio vectorial y $c\colon V\otimes V\to V\otimes V$ es un mapa lineal invertible que satisface $c_{12}c_{23}c_{12}=c_{23}c_{12}c_{23}$ donde $c_{12}=(c\otimes\mathrm{id})$ y $c_{23}=(\mathrm{id}\otimes c)$ .

Hasta donde yo sé, la clasificación de los espacios vectoriales trenzados se completa en el caso en que $\dim V=2$ :

• Hietarinta, Jarmo. Todas las soluciones de la ecuación cuántica constante de Yang-Baxter en dos dimensiones. Phys. Lett. A 165 (1992), no. 3, 245--251. MR1169634 (93d:16050). doi .

Otros resultados interesantes relacionados:

• Dye, H. A. Soluciones unitarias a la ecuación de Yang-Baxter en dimensión cuatro. Quantum Inf. Process. 2 (2002), no. 1-2, 117--151 (2003). MR2032002 (2004k:81168). doi
• Galindo, César; Rowell, Eric C. Braid representations from unitary braided vector spaces. J. Math. Phys. 55 (2014), nº 6, 061702, 13 pp. MR3390645. doi

Edición: En general, producir soluciones de la ecuación de Yang-Baxter es un problema muy difícil. En MO Pregunta 201901 encontrará información sobre las llamadas soluciones teóricas de conjuntos.