¿Es este conjunto un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^{m \times n}$

Question

Sí, $P= \{ A: A \in \mathbb{R}^{m \times n}, \sum _j a_{i,j}=1\,\forall i, 0 \le a_{i,j}\le 1 \}$ forman un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^{m \times n}$ ?

En otras palabras, estoy viendo una de esas matrices $A$ de forma que cada fila de $A$ es una distribución de probabilidad sobre un conjunto finito digamos $G$ .

Gracias

Answer 1

Cada juego

$$U_{i,j} = \{ A : 0 \leq a_{i,j} \leq 1 \}$$

es cerrado, ya que es la preimagen del conjunto cerrado $[0,1]$ mediante una función continua

Así que el conjunto

$$U= \bigcap_{i,j} B_{i,j} $$

también está cerrado

Cada juego

$$V_i= \{ A : \sum_j a_{i,j} = 1 \}$$

es cerrado, como preimagen del conjunto cerrado $\{1\}$ mediante una función continua

Así que el conjunto

$$ V = \bigcap_i V_i $$

Está cerrado

Y $P = U \cap V$ por lo que está cerrado