Por geodésica cerrada entiendo una geodésica periódica suave $\mathbb{R} \rightarrow (M,g)$ . Las consideraré hasta la distinción geométrica. Esto significa que dos geodésicas cerradas cualesquiera son equivalentes si tienen la misma imagen en $(M,g)$ .
Múltiples con curvatura constante $\leq 0$ , por el teorema de Cartan, no puede tener ninguna geodésica contráctil cerrada, y toda métrica riemanniana sobre $S^2$ tiene infinitas geodésicas cerradas (para $n\geq 3$ el teorema análogo para $S^n$ no se conoce). Además, si la secuencia de números de Betti del espacio de bucles $\Omega(M)$ no tiene límites y $M$ es de conexión simple, entonces $(M,g)$ contiene infinitas geodésicas cerradas (contractibles).
¿Existen ejemplos conocidos de variedades riemannianas con un número finito y positivo de geodésicas contractibles cerradas (o incluso sólo geodésicas cerradas)?
Existe un teorema asociado a Gromov que afirma que el problema de la palabra de $\pi_1 M$ es resoluble si existe una métrica $g$ en $M$ con sólo un número finito de geodésicas cerradas contractibles. Me preguntaba si existen ejemplos no triviales de este teorema.
