En el espacio de distribución ${\cal E'}(\mathbb R^n)$

Question

$${\cal D}'(\mathbb R^n) \equiv \{ {\rm continuous \ linear \ functionals } \ \ u_f(\phi): {\cal D}(\mathbb R^n) \to \mathbb C, \ \ {\rm with }\ f \in L^1_{loc}(\mathbb R^n) \ {\rm and} \ \phi \in {\cal C}^{\infty}_c (\mathbb R^n)\}$$

Me gustaría escribir una definición similar para ${\cal E'}(\mathbb R^n)$ si es posible.

Inténtelo .

$${\cal E}'(\mathbb R^n) \equiv \{ {\rm continuous \ linear \ functionals } \ \ v_g(\psi): {\cal E}(\mathbb R^n) \to \mathbb C, \ \ {\rm with }\ g \in {\cal C}^\infty_c(\mathbb R^n) \ {\rm and} \ \psi \in {\cal C}^{\infty} (\mathbb R^n)\}$$

¿Es correcto? O mejor, ¿es equivalente a las definiciones habituales de $\cal E'(\mathbb R^n)?$

Answer 1

Creo que uno se equivoca al pensar que las "funciones" y las "distribuciones" son fundamentalmente diferentes. Sí, muchas formalizaciones parecerían hacerlas cosas muy diferentes entre sí... pero las motivaciones históricas y actuales ciertamente no las hacen muy diferentes.

En particular, en la práctica, las "distribuciones" aparecen como ("débiles" u otras no puntuales...) límites de funciones muy bonitas, por ejemplo, funciones de prueba.

Así, mientras que los límites puntuales uniformemente compactos de funciones continuas son ciertamente continuos, otros límites (como $L^2$ , sin mencionar siquiera las "distribuciones") de funciones continuas no tienen por qué ser continuas.

Además, hace unos años me di cuenta de que, probablemente, ningún físico ha pensado que el "potencial" de la energía es tan bajo como el "potencial" de la energía. $\delta$ realmente tenía $0$ extensión sino valor infinito... sino, más bien, escribió $\delta$ para una idealización de un potencial con extensión muy pequeña pero masa total (o lo que sea) $1$ . Así que el hecho de que esto sea matemáticamente imposible desde el punto de vista clásico no era demasiado relevante, ya que las manipulaciones eran en realidad en parte un narrativa sobre el razonamiento físico-matemático... y posiblemente no pretenda en absoluto afirmar nada sobre una literal $\delta$ .

Y, de nuevo, la mayoría de los espacios vectoriales topológicos no tienen una incrustación natural en sus duales.

Pero a/el interés fundamental del espacio de distribuciones es que el espacio de funciones de prueba hace incrustado en él, y es denso. Sí, esto es por la identificación de una función de prueba con el funcional integrar-contra-ello, ... ¡lo que resulta ser una elección inteligente en la práctica! A diferencia de pensar en las funciones como cosas que tienen números de entrada y números de salida. Además, entre las distribuciones, las de soporte compacto son (demostrablemente) combinaciones lineales finitas de algunas derivadas (de orden finito) de funciones continuas de soporte compacto. Así que no hemos añadido cosas superfluas, si de verdad queremos estar seguros de diferenciar cualquier cosa.

Las cosas se desordenan un poco cuando nos fijamos en el espacio de Frechet de las funciones suaves, y su dual, las distribuciones con soporte compacto. Hay que trabajar un poco para demostrar que el dual es efectivamente lo que es. Y el espacio de funciones suaves no incrustarse en ese dual de forma natural. Una lástima. Aún así, las funciones de prueba son denso en él (incrustación por la convención integrar-contra).