Esto no es exactamente una respuesta. Es más bien una explicación sencilla de por qué las variables aleatorias se definen rigurosamente como funciones y por qué, en mi opinión, merece la pena adentrarse en la teoría de medidas.
Las variables aleatorias son funciones. Hay una razón por la que las variables aleatorias se tratan como funciones. La idea es que hay algún mecanismo subyacente que genera las observaciones que se obtienen. Es curioso: la teoría de la probabilidad -la teoría de la aleatoriedad- supone que hay algún orden oculto que es inalcanzable para el observador.
La idea es que una variable aleatoria es una función, $X:\Omega \to E$ a partir de un espacio muestral $\Omega$ a un espacio de observación $E$ pero normalmente no sabemos qué función es [además de algunos supuestos adicionales de regularidad en los que no entraré].
Además, en la práctica sólo tenemos acceso a algunas observaciones $X(\omega_1)$ , $X(\omega_2)$ etc. No sabemos $\omega_i$ bien. Piense en ello como una caja negra que contiene $X$ detrás hay $\Omega$ y algún mecanismo desconocido alimenta $\omega$ 's a $X$ para generar nuestras observaciones...
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El espacio muestral $\Omega$ suele ser una entidad abstracta. Su estructura viene dictada por lo que se denomina un $\sigma$ -álgebra . Por ahora pensemos en $\Omega$ como el espacio detrás de una cortina que lo separa del mundo observable.
Definición de probabilidad. No podemos saber $X$ y cómo genera observaciones. No obstante, podemos utilizar $X$ para investigar $\Omega$ y "medirlo".
Permítanme decir en este punto que la base de la teoría de la probabilidad es la teoría de la medida. La teoría de la medida es una rama de las matemáticas que estudia cómo podemos medir conjuntos. Por ejemplo, tiene sentido decir que $\{1,2,3\}$ tiene 3 elementos, $[0,1]$ tiene una medida $1$ y $[10, 12]$ tiene medida (longitud) 2. También tiene sentido decir que la caja $[1,3]\times [4,6]$ tiene medida (área) 4 y así sucesivamente. Por supuesto, hay diferentes formas de medir el tamaño de un conjunto, pero deberían tener sentido (véase: definición de medir ).
En teoría de la probabilidad, la idea es que aunque no podamos estudiar $X$ por sí misma, podemos "medirla". Por ejemplo, consideremos una variable aleatoria $X$ que toma de algún espacio $\Omega$ en $\{0,1\}$ . Definir el conjunto
$$ \{\omega \in \Omega : X(\omega) = 1\}. $$
La medida de este conjunto de la probabilidad de que $X$ es igual a $1$ . Dado que hay distintas formas de medir el tamaño de este conjunto, existen múltiples medidas de probabilidad.
Dicho esto, un medida de probabilidad es una medida sobre $\Omega$ (nos permite medir el tamaño de algunos subconjuntos de $\Omega$ son) que
He aquí una definición (no rigurosa) de probabilidad. Sea $\mathrm{P}$ sea una función que asigne (algunos) subconjuntos de $\Omega$ a un número en $[0,1]$ . Se llama probabilidad (o medida de probabilidad) si
- $\mathrm{P}(\Omega) = 1$
- Para conjuntos disjuntos $A_1, A_2, \ldots$ es $\mathrm{P}(A_1 \cup A_2 \cup \ldots) = \mathrm{P}(A_1) + \mathrm{P}(A_2) + \ldots$
Ejemplo. Tomemos por ejemplo la variable aleatoria que nos da el resultado del lanzamiento de una moneda. Entonces $\Omega$ es un espacio (abstracto) y $X:\Omega \to \{H, T\}$ es nuestra variable aleatoria. Sabemos que "la probabilidad de cola es 0,5 (50%)". Esto significa que la medida de probabilidad de $\{\omega \in \Omega : X(\omega) = \text{Tails}\} = 0.5$ .
Propiedades de P. Hay muchas propiedades (véase ici para obtener una lista).
El espacio de todas las variables aleatorias de $\Omega$ à $E$ . Sí, esto tiene un nombre - es el conjunto de funciones medibles . Se tarda algún tiempo en comprender el concepto de función mensurable y primero hay que entender qué es un álgebra sigma es. Un "espacio de (todas) las variables aleatorias" sólo tiene sentido una vez que hemos equipado $\Omega$ y $E$ con una sigma-álgebra (como el movimiento sólo tiene sentido desde la perspectiva de un sistema de referencia). La definición de una función medible es independiente de la elección de la medida de probabilidad.
También le recomiendo que lea esta pregunta en stats.stackexchange.
