Cómo encontrar el valor mínimo de $\sqrt{(x+6)^2+25}+\sqrt{(x-6)^2+121}$ ?

Question

Sobre todos los números reales $x$ encuentre el valor mínimo de $$\sqrt{(x+6)^2+25}+\sqrt{(x-6)^2+121}$$

Para resolver este problema probé diferentes métodos: primero puse derivada de la función igual a cero:

$$\cfrac{x+6}{\sqrt{(x+6)^2+25}}+\cfrac{x-6}{\sqrt{(x-6)^2+121}}=0$$ $$\cfrac{x^2+12x+36}{x^2+12x+61}=\cfrac{x^2-12x+36}{x^2-12x+157}$$ Pero dudo que eso ayude.

Como alternativa, he probado a utilizar la geometría:

Aquí por el teorema de Pitágoras $BD=\sqrt{(x-(-6))^2+5^2}$ y $AE=\sqrt{(x-6)^2+11^2}$ así que deberíamos movernos $C$ en el $x$ hasta que la suma de las longitudes de los segmentos rojos sea mínima. Pero no tengo ni idea de cuando sucede.

Answer 1

Su pregunta puede reformularse del siguiente modo: hallar la suma mínima de las distancias de un punto $P=(x,0)$ en $x$ -eje a partir de dos puntos fijos $A=(-6,-5)$ y $B=(6,11)$ .

Punto $P$ de mínimo es entonces, por supuesto, la intersección entre la línea $AB$ y $x$ -eje. Y la suma mínima de distancias es $|AB|=20$ .

Answer 2

Procede con la ecuación que tienes de poner la derivada igual a $0$ . Sólo es cuadrática en $x$ una vez despejados los denominadores.

$$\begin{align} \frac{x^2+12x+36}{x^2+12x+61}&=\frac{x^2-12x+36}{x^2-12x+157}\\ (x^2+12x+36)(x^2-12x+157)&=(x^2-12x+36)(x^2+12x+61)\\ x^4+c_1x^2+\cdots&=x^4+c_2x^2+\cdots \end{align}$$

No hay $x^3$ términos, y el $x^4$ términos cancelar.

Answer 3

Usted puede utilizar la desigualdad del triángulo para la distancia euclidiana entre los vectores.

$$(x+6,5), (6-x,11)\Rightarrow |(x+6,5)| + |(6-x,11)|\geq |(12,16)|=4|(3,4)|=20$$

La igualdad se alcanza si los vectores son paralelos, lo que ocurre para $x=-\frac 94$ .

Answer 4

Tu planteamiento inicial no iba tan desencaminado. Intenta no romper todos los cuadrados. Reescribe tu tercera línea como

$$\frac{(x+6)^2}{(x+6)^2 + 25} = \frac{(x-6)^2}{(x-6)^2 + 121} $$

A continuación, invierte ambos lados y anula el $1$ en ambos lados. Entonces reescribe

$$\frac{(x+6)^2}{(x-6)^2} = \frac{25}{121}$$

tomar la raíz

$$\frac{(x+6)}{(x-6)} = \pm\frac{5}{11}$$

y a partir de ahí se obtiene $x_1 = -16$ y $x_2 = -\frac94$ que luego puedes introducir en tu primera ecuación. De todos modos, $x_2$ debería ser la solución.

Answer 5

¿Quizá multiplicadores de Lagrange? $$\sqrt{(x+6)^2+25}+\sqrt{(x-6)^2+121}$$

Antes de trabajar, digo $ x+6=z_1$ y $x-6=z_2$ entonces tengo relación:

$z_1 - z_2 = 12$ y puedo pensar en optimizar:

$$ f(z_1,z_2) = \sqrt{ z_1^2 + 5^2} + \sqrt{z_2^2 + 11^2}$$

Bajo la restricción. Ok, entonces usemos el multiplicador de LaGrange:

$$ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \frac{ z_1}{\sqrt{z_1^2 + 5^2} } \\ \frac{z_2}{\sqrt{z_2^2 + 11^2 } }\end{bmatrix}$$

Esto me da:

$$- \sqrt{z_2^2 + 11^2} \lambda = z_2$$ y, $$ \sqrt{z_1^2 + 5^2} \lambda = z_1$$

O,

$$ \frac{z_2}{z_1} = \pm \frac{11}{5}$$

Introduciendo esto de nuevo en la curva de restricción:

$$ z_1 \mp z_1 \frac{11}{5} = 12$$

O,

$$ z_1 = \frac{12}{1 \mp \frac{11}{5} }$$

Ahora, pon $z_1=x+6$ y resolver. La belleza de este método es que es requiere cero pensamiento (aparte de tal vez la comprensión de la idea de método en sí), sólo tienes que seguir un algoritmo y siempre se obtiene la respuesta correcta :)