Hola a todos necesito mostrar la siguiente igualdad
$$\sum_{k\ge 0} e^{-an} \frac{(an)^k}{k!}f(\frac{k}{n}) = \Bbb{E}\left(f\left(\dfrac{X_1+\cdots + X_n}{n}\right)\right)$$
Dónde $(X_i)_i$ son variables aleatorias de Poisson i.i.d. con parámetro $a$ y $f$ es una función continua acotada.
He demostrado que $S_n:=\sum_{i=1}^n X_i$ es una variable aleatoria de Poisson con parámetro $\alpha n$ con ayuda de las funciones características, en efecto, si $(X_i)_{i=1}^n$ son variables aleatorias de Poisson i.i.d. con parámetro $\lambda_i$ entonces tenemos \begin{align*} \Phi_{S_n}&:= \Bbb{E}(e^{iS_nt})\\ &=\Bbb{E}(e^{it(X_1+\cdots +X_n)}) \\ &= \Bbb{E}(e^{itX_1}\cdots e^{itX_n}) \\ &=\Bbb{E}(e^{itX_1})\cdots \Bbb{E}(e^{itX_n}), \qquad \text{by independence} \\ &=e^{-(\lambda_1+\cdots + \lambda_n)(1-e^{it})} \end{align*} y hemos visto en clase que la función característica caracteriza unívocamente la distribución de probabilidad, por lo que podemos concluir que $S_n$ se distribuye como v.r. de Poisson con parámetro $\lambda_1 + \cdots + \lambda_n$ .
En nuestro caso los parámetros son todos iguales, por lo que $\sum_{i=1}^n$ es una v.r. de Poisson con parámetro $an$ . No puedo reescribir la expresión $\Bbb{E}\left(f\left(\dfrac{X_1+\cdots + X_n}{n}\right)\right)$ porque siempre me sale algo diferente, ¿podrían echarme una mano?
