¿Ecuación irresoluble?

Question

Si tenemos la relación de recurrencia no homogénea $$f(n+2) - 6f(n+1)+9f(n) = 6*3^{n} + 2^{n} = 2 * 3^{n+1} + 2^n, f(0) = 0, f(1) = 1, n \ge 1$$ Paso 1: Encontrar la solución homogénea

$f(n) = C_13^n + C_23^nn$

Paso 2: Encontrar la solución particular

$f(n) = n^2a3^n + b2^n$

$(n+2)^2a3^{n+2}+b2^{n+2} - 6((n+1)^2a3^{n+1}+b2^{n+1}) + 9(n^2a3^n + b2^n) \stackrel{?}{=} 6*3^n + 2^n$

¿Cómo debo proceder?

También conozco la solución particular de una relación de recurrencia muy parecida a ésta. Aunque no puedo averiguar si incluso me ayuda mucho, sólo parece hacer la ecuación mucho más difícil si lo uso en la solución particular anterior.

$f(n+2)-6f(n+1)+9f(n)= 2*3^{n+1}$

Solución particular:

$f(n)=\frac{1}{3}n^23^n$

Answer 1

Considere la ecuación \begin{align} f_{n+2} - 6 f_{n+1} + 9 f_{n} = 6 \cdot 3^{n} + 2^{n} \end{align} donde $f_{0} = 1$ y $f_{1} = 1$ . Considerando una forma de $f_{n} \approx r^{n}$ entonces se ve que la ecuación homogénea conduce a $r^{2} - 6r + 9 =0$ que da como resultado $r = 3, 3$ . Debido a esto considere la forma $f_{n}^{h} = A_{1} \, 3^{n} + A_{2} \, 3^{n} \, n$ . Ahora bien, como la forma particular también contiene un factor en la solución homogénea, consideremos la forma $f_{n}^{p} = B_{1} \, 3^{n} \, n^{2} + 2^{n}$ . Combinando estos dos componentes en la forma adecuada se obtiene la solución total \begin{align} f_{n} = A_{1} \, 3^{n} + A_{2} \, 3^{n} \, n + B_{1} \, 3^{n} \, n^{2} + B_{2} \, 2^{n}. \end{align} Cálculo de los rendimientos \begin{align} 18 B_{1} \, 3^{n} + B_{2} \, 2^{n} = 6 \cdot 3^{n} + 2^{n} \end{align} que establece $B_{1} = 1/3$ y $B_{2} = 1$ . Por lo tanto \begin{align} f_{n} = A_{1} \, 3^{n} + A_{2} \, 3^{n} \, n + 3^{n-1} \, n^{2} + 2^{n}. \end{align} La aplicación de las condiciones iniciales proporciona $0 = A_{1} + 1$ y $1 = 3 A_{2}+ 3$ que se convierten en $A_{1} = -1$ y $A_{2} = -2/3$ . Por lo tanto \begin{align} f_{n} &= - 3^{n} - 2 \cdot 3^{n-1} \, n + 3^{n-1} \, n^{2} + 2^{n} \end{align} y tras algunos cambios el resultado final es \begin{align} f_{n} = 3^{n-1} \left( n^{2} - 2n - 3 \right) + 2^{n}. \end{align}