Cuántas maneras de sacar números de fibonacci consecutivos de una baraja de cartas

Question

En una baraja de cartas hay 4 palos de 13 cartas cada uno. Si el valor nominal de los ases se define como 1 y la sota, la reina y el rey son 11, 12 y 13 respectivamente, entonces:

1)

¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 cartas de la baraja cuyo valor nominal sume 13?

¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 cartas cuyo valor nominal sume 13?

¿Hay alguna manera de generalizar esto a $k$ tarjetas que suman $n$ ?

2)

¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 cartas que sean 3 números de Fibonacci consecutivos?

¿Cuál es la probabilidad de sacar 4 cartas que sean 4 números de Fibonacci consecutivos?

(Por ejemplo: as, as, 2, 3 o 3, 5, 8, 13.) Pero el orden en que se extraen no es importante).

¿Hay alguna manera de generalizar esto a $k$ tarjetas que son $k$ ¿números de Fibonacci consecutivos?

Answer 1

Para la primera parte, sólo tienes que elegir dos cartas y no hay mucho que hacer. Usted tiene en este caso, 6 maneras diferentes de producir 13; $$(1,Q),(2,J),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)$$ Desde $$(1,Q)=(Q,1)$$ tenemos 2 formas de dibujar cada una de ellas. Hay 4 cartas de cada número/cara, por lo que la probabilidad de sacar dos cartas sustituidas que sumen 13 es $$6\cdot{2}\cdot{\frac{4\cdot{4}}{52\cdot{52}}}=.071$$ Sin sustitución es sólo $$6\cdot{2}\cdot{\frac{4\cdot{4}}{52\cdot{51}}}=.0724$$ Para 3 tarjetas es un poco más de trabajo, pero es la misma técnica. Las formas de hacer que 3 cartas sumen 13 son las siguientes; $$(1,1,J),(1,2,10),(1,3,9),(1,4,8),(1,5,7),(1,6,6)$$ $$(2,2,9),(2,3,8),(2,4,7),(2,5,6)$$ $$(3,3,7),(3,4,6),(3,5,5)$$ $$(4,4,5)$$ Ahora, en lugar de dos formas diferentes para cada 3-tupla, tenemos un par de opciones: Para las 3 tuplas con 3 dígitos distintos, hay ¡3! formas distintas de seleccionarlos, y para las 3 tuplas con 2 dígitos distintos (es decir, $(1,1,J)$ ), hay $\frac{3!}{2!\cdot{1!}}=3$ formas de seleccionar. Así que hay 8 diferentes 3-tuplas con 3 dígitos distintos y 6 diferentes 3-tuplas con 2 dígitos distintos por lo que la probabilidad de sacar 3 cartas con reemplazo que sumen 13 es $$8\cdot{6}\cdot{\frac{4^3}{52^3}}+6\cdot{3}\cdot{\frac{4^2\cdot{3}}{52^3}}=.028$$ Sin sustitución es sólo $$8\cdot{6}\cdot{\frac{4^3}{52\cdot{51}\cdot{50}}}+6\cdot{3}\cdot{\frac{4^2\cdot{3}}{52\cdot{51}\cdot{50}}}=.0297$$

Utilice los mismos principios generales para elaborar sus secuencias de Fibonacci consecutivas.

Answer 2

Una generalización para la segunda parte de su pregunta; números de fibonacci consecutivos: Como arriba tenemos k-tuplas que no están ordenadas; así por ejemplo, 4 y 5 números de fibonacci consecutivos pueden ser $$(2,3,5,8)$$ y $$(1,1,2,3,5)$$ Siempre existirá la k-tupla que tiene $(1,1,...)$ en él también. También sabemos que el número máximo k puede ser 7, ya que $$(1,1,2,3,5,8,K)$$ es la secuencia más larga de números de Fibonacci que podemos extraer de una baraja de cartas

En general, para cada k-tupla, hay $(7-k)$ k-tuplas con $k$ dígitos distintos y una k-tupla con $(k-1)$ dígitos distintos (la k-tupla con dos 1). También existen $k!$ diferentes formas de ordenar las k-tuplas y $(k-1)!$ formas de ordenar el single $(1,1,...)$ k-tupla. Así, podemos generalizar la probabilidad como tal; $$P(\text{sequence of k fibonacci numbers})=(7-k)\cdot{k!}\cdot\frac{4^k}{P(52,k)}+(k-1)!\cdot{\frac{4^{(k-1)}\cdot3}{P(52,k)}}$$ $$=\frac{(k-1)!\cdot{4^{k-1}}}{P(52,k)}\cdot[(3+28k-4k^2)]$$

Dónde $P(n,k)$ representa la permutación $\frac{n!}{(n-k)!}$