Demostrar o refutar: Si X tiene una fdc F entonces P(F(X) ≤ a) ≤ a. ¿Bajo qué condición en F se obtendrá P(F(X) ≤ a) = a?

Question

Demostrar o refutar: Si X tiene una fdc F entonces P(F(X) a) a. ¿Bajo qué condición en F se obtendrá P(F(X) a) = a?

Creo que si a es negativo, entonces la afirmación es falsa. ¿Alguna pista para la condición de igualdad?

Answer 1

Implícitamente, has introducido una nueva variable aleatoria, $Y = F(X)$ . Por definición, $Y \in [0, 1]$ .

Supongamos que $F(X)$ es diferenciable y estrictamente creciente. Supongamos también que $F(X)$ es invertible. Vamos a $f(X) = F'(X)$ sea el pdf de $X$ . Entonces el pdf de $Y$ es:

$$f_Y(Y) = \displaystyle f(\bar{X})\frac{d \bar{X}}{d Y},$$

donde $Y = F(\bar{X})$ o equivalentemente $\bar{X} = F^{-1}(Y)$ . Entonces:

$$f_Y(Y) = \displaystyle f(F^{-1}(Y))\frac{d F^{-1}(Y)}{d Y}.$$

Recuérdalo:

$$\frac{d F^{-1}(Y)}{d Y} = \frac{1}{f(F^{-1}(Y))},$$

y por lo tanto $f_Y(Y) = 1 ~\forall ~Y \in [0,1]$ y $0$ en otro sitio. Esto significa que $Y$ es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el conjunto $[0,1]$ cualquiera que sea es la distribución de $X$ .

Por fin:

$$P(F(X) \leq a) = P(Y \leq a) = \begin{cases} 0 & \text{if $a < 0$} \\ a & \text{if $a \in [0, 1]$} \\ 1 & \text{if $a > 1$} \end{cases} $$

Entonces $$P(F(X) \leq a) \leq a$$ si $a \in [0, 1]$ .

Answer 2

Los únicos valores relevantes de $a$ están en $[0,1)$ .

Si $F$ es continua, entonces $\{F(X)\le a\}=\{X\le G(a)\}$ donde $G$ es la inversa continua a la derecha de $F$ definido por $$ G(y):=\inf\{x:F(x)>y\},\qquad 0\le y<1. $$ En este caso, $P[F(X)\le a]=P[X\le G(a)]=F(G(a))=a$ la igualdad final que resulta de la continuidad derecha de $F$ .

En general, sólo tenemos la inclusión $\{F(X)\le a\}\subset\{X\le G(a)\}$ , dando como resultado $P[F(X)\le a]\le P[X\le G(a)]=F(G(a))=a$ para $a\in[0,1)$ .

Por ejemplo: $X$ toma los valores $0$ y $1$ con probabilidades $1/2$ cada uno. Sea $a=1/4$ . Entonces $P[F(X)\le 1/4]=P[F(X)=0]=0$ pero $G(1/4)=1/2$ y $P[F(X)\le 1/2]=P[X\le 0]=1/2$ .