[EDIT: He sustituido $a$ por $R_1$ en mi post anterior para facilitar su lectura y comprensión, ya que se trata de una expresión más general].
Creo que tengo una pregunta básica pero no encuentro una solución fácil. Estoy intersecando un toroide con un plano horizontal, que moveré de la parte superior a la inferior para calcular el área de las intersecciones a diferentes alturas. Por lo tanto, necesito obtener la ecuación de la curva paramétrica de cada intersección para calcular el área como: $$A=\int{y(v) x'(v) dv}$$ .
Mi problema es que no consigo obtener una curva paramétrica "cerrada", ya que hay ciertos valores complejos en el cálculo que no puedo evitar. Obtengo algo así cuando corto el toroide en la región comprendida entre los diámetros interior y exterior:
intersección entre el plano y el toroide (curva paramétrica como línea negra)
Curva de intersección paramétrica
Curva de intersección paramétrica más su homólogo negativo
Como puede verse, incluso intentando replicar la geometría completa mediante la adición de la curva paramétrica de valores negativos (por si acaso esto soluciona algo...), hay una pequeña región que no permite ninguna conexión para crear una curva cerrada completa que se integre para obtener el área encerrada.
¿Alguien sabe qué estoy haciendo mal? Agradecería mucho cualquier ayuda.
Detalles de mi procedimiento:
Ecuaciones paramétricas del toroide: $$ x(u,v) = R_2*\sin(v),$$ $$ y(u,v) = (R_1+R_2\cos(v))\cos(u), $$ $$ z(u,v) = (R_1+R_2\cos(v))\sin(u), $$ con $v \in [0, 2\pi]$ , $u \in [0, 2\pi]$ , $R_1$ la posición radial del centro de la circunferencia revolucionada, y $R_2$ el radio de dicha circunferencia en revolución.
Ecuaciones paramétricas del plano: $$z(x,y)=h,$$ con $h$ una altura específica que variará. Es sólo un plano horizontal.
Para obtener las curvas paramétricas, tengo que hacer iguales tanto $z$ valores: $$(R_1+R_2\cos(v))\sin(u) = h, $$ Así: $\sin(u) = \frac{h}{R_1+R_2\cos(v)}$ . Puedo sustituir este valor en y(u,v) para obtener y(v) utilizando $u=\arcsin(\frac{h}{R_1+R_2\cos(v)})$ ou $\cos(u)=\sqrt{1-\sin(u)^2}$ . Utilizando esta última, podemos obtener la siguiente curva paramétrica para la intersección:
$$ x(v) = R_2*\sin(v),$$ $$ y(v) = (R_1+R_2\cos(v))\sqrt{1-\left(\frac{h}{R_1+R_2\cos(v)}\right)^2}, $$ con $v \in [0, 2\pi]$ .
En $\left(\frac{h}{R_1+R_2\cos(v)}\right)^2$ > 1, la raíz cuadrada arroja dichos valores complejos problemáticos.
Muchas gracias de antemano por su tiempo para leer este post.
Saludos cordiales.
[EDIT: Un sencillo script Matlab para visualizar esta situación:]
close all;
R1=3; R2=1;
h=3.7; %Example of height
L1=4; L2=4; %some limits for the plane
%Plane equation
syms u v
yp=v;
zp = h;
xp = u;
fsurf(xp, yp, zp, [-(L1 + 2*R1)/2, (L1 + 2*R1)/2 , -(L2 + 2*R2)/2, (L2 + 2*R2)/2], 'LineStyle', ls, 'FaceColor', 'm'); hold on;
%Torus equation
syms u v
%a=R1+R2;
x_t = R2*sin(v);
y_t = (R1+R2*cos(v))*cos(u);
z_t = (R1+R2*cos(v))*sin(u);
fsurf(x_t, y_t, z_t, [0, 2*pi, 0, 2*pi], 'LineStyle', ls, 'FaceColor', 'g');
%Intersection
syms v
x_i = R2*sin(v);
y_i = (R1+R2*cos(v)).*(sqrt(1-(h/(R1+R2*cos(v)))^2) ) ;
z_i=h+v-v; %tricky to plot a 2D plot in a 3D figure
fplot3(x_i,y_i,z_i, [0, 2*pi], 'k-', 'LineWidth', 4); xlabel('x')
hold on
syms v
x_i = R2*sin(v);
y_i = -(R1+R2*cos(v))*(sqrt(1-(h/(R1+R2*cos(v)))^2) ) ;
z_i=h+v-v; %tricky to plot a 2D plot in a 3D figure
fplot3(x_i,y_i,z_i, [0, 2*pi], 'k-', 'LineWidth', 4); xlabel('x')
hold on
