¿Qué cantidad combinatoria representa la tetración de dos números naturales?

Question

Tetration es una generalización de la exponenciación en aritmética y forma parte de una serie de otras nociones generalizadas, Hiperoperadores . Considere $m\uparrow n$ denota la tetración de $m$ y $n$ . es decir $$\underbrace{m^{m^{m^{.^{.^{.^{m}}}}}}}_{n-times}$$

Obsérvese que se puede encontrar una descripción combinatoria de cada uno de los operadores suma , multiplicación y exponenciación como sigue:

• $m+n$ es el tamaño de unión disjunta de dos conjuntos con $m$ y $n$ elementos .

• $m.n$ es el tamaño de Producto cartesiano de dos conjuntos con $m$ y $n$ elementos .

• $m^n$ es el tamaño de conjunto de todas las funciones de un conjunto con $n$ elementos a un conjunto con $m$ elementos.

• $m\uparrow n$ es el tamaño de ... (?)

Pregunta: ¿Es posible introducir un conjunto combinatorio (definido por $m$ , $n$ ) cuyo tamaño es $m\uparrow n$ así como el caso de $m+n$ , $m.n$ , $m^n$ ? ¿Qué pasa con otros Hiperoperadores como la pentación y la hexación? Las expresiones sencillas y más naturales son más interesantes.

Answer 1

Esto probablemente no es lo que quieres. pero podemos crear la noción de la $n$ dual de un conjunto (tomo prestada esta notación del álgebra lineal).

Conjuntos dados $X$ y $Y$ considere el dual de $X$ con respecto a $Y$ las funciones de $X$ a $Y$ .

Definir recursivamente el $n$ dual de un conjunto $X$ sea el dual de $X$ con respecto a $X$ para $n=1$ y el dual del $n-1$ dual de $X$ con respecto a $X$ para $n>1$ . Entonces $m\uparrow n$ es el orden del $n$ de un conjunto de $m$ elementos.

Answer 2

$2 \uparrow \uparrow (n-1)$ es el número de conjuntos de rango $n$ . Intuitivamente, el rango de un conjunto es la profundidad del anidamiento de llaves necesario para escribirlo. Recursivamente, el rango del conjunto vacío es cero, y el rango de un conjunto no vacío es el uno más el rango máximo de sus elementos. También es la profundidad de la pila que necesita un autómata pushdown para reconocer que las llaves están equilibradas. En resumen, $2 \uparrow \uparrow (n-1) = |V_n|$ donde

$$V_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} \mathcal{P}(V_\beta)$$

Answer 3

Aquí tienes una visualización de la respuesta de @JorgeFernandez, si estás familiarizado con la idea de complejo simplicial de la topología. Podemos ver una función del conjunto de tamaño $m$ a sí mismo como un cierto tipo de $1$ -sobre sí mismo. Entonces podemos hacerlos crecer en complejos simpliciales de mayor dimensión para representar $m\uparrow n$ . Básicamente, estamos mirando recursivamente toda la colección de funciones de la iteración anterior, e imaginando todas las formas de volver a asignar ese conjunto al conjunto de tamaño $m$ .

$m\uparrow n$ es el número de formas de construir un complejo simplicial según el esquema expuesto a continuación. Intenta seguir los pasos y dibujar uno de los $2\uparrow 3=16$ complejos simpliciales que describen estos pasos para comprenderlo mejor.

• Si añadimos cualquier one-simplices, tendrán una orientación.
• Comience con $m$ vértices. Estos son los $0$ -símplices del complejo. Si $n=1$ cada uno de estos individuos $0$ -simples se cuenta para obtener $m\uparrow 1$ .
• Si $n=2$ Salte al último paso. Si $n\geq3$ comenzar el complejo con una copia de cada posible dirigida $1$ -simplex. Tenga en cuenta que esto incluye bucles.
• Si $n=3$ Salte al último paso. Si $n\geq4$ , ampliar a $1$ -simplex del paso anterior en un $2$ -eligiendo un punto del conjunto como tercer vértice y añadiendo $1$ -símplices que completan el triángulo y apuntan al punto elegido, y uniendo el $2$ -simplex usando ese triángulo como límite. A continuación, haga lo mismo para cada $1$ -del paso anterior, para cada punto objetivo posible.
• Si $n=4$ Salta al último paso. Si $n\geq5$ , ampliar a $2$ -simplex del paso anterior en un $3$ -eligiendo un punto del conjunto como cuarto vértice y añadiendo $1$ -símplices que completan la cáscara de un tetraedro y apuntan al punto elegido, añadiendo tres más $2$ -simples para completar la cáscara del tetraedro, y uniendo el $3$ -simplex para rellenar el tetraedro. A continuación, haga lo mismo para cada $2$ -del paso anterior, para cada punto objetivo posible.
• Analogías de mayor dimensión de los pasos anteriores...
• Finalmente, llegamos a un punto en el que acabamos de añadir un montón de $(n-2)$ -simples en el paso anterior. En este último paso adjuntaremos $(n-1)$ -simples, pero de forma ligeramente distinta. Extender un $(n-2)$ -simplex del paso anterior en un $(n-1)$ -eligiendo un punto del conjunto como $n$ vértice, añadiendo $1$ -símplices que completan la cáscara de un hipertetraedro y apuntan al punto elegido, añadiendo más $2$ -simplemente, $3$ -simples, etc. hasta completar la envoltura del hipertetraedro, y uniendo el $(n-1)$ -simplex para rellenar el hipertetraedro. A continuación, haga lo mismo para cada $(n-2)$ -simplex del paso anterior, pero sólo eligiendo un punto objetivo para cada $(n-2)$ -simple.

Answer 4

"¿Qué hay de otros Hiperoperadores como la pentación y la hexación?"

He analizado las propiedades holomórficas de la tetración y la pentación. Algunos enlaces y mapas complejos de tetración y pentación en http://mizugadro.mydns.jp/2014ACKER/67.pdf ¿Ayuda?