$f(x)=x^3e^x, \; g(x)=\exp(x^{999}) ,\; h(x)=\frac{1}{2+\exp(i4x)}$ . Informática $f^{(1000)}(x)$ , $g^{(1000)}(0)$ , $h'(x)$ sin tecnología

Question

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$

$f(x)=x^3e^x, \; g(x)=\exp(x^{999}) ,\; h(x)=\frac{1}{2+\exp(i4x)}$

¿Existe alguna forma eficiente de calcular (sin utilizar tecnología):

$f^{(1000)}(x)=$

$g^{(1000)}(0)=$

$h'(x)=$

Answer 1

Si no utilizar la tecnología significa sólo calcular a mano, ésta es la solución:

1. Utilizando $(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^nC^n_k u^{(n-k)}(x)v^{(k)}(x)$ Sólo sobreviven unos pocos términos, $f^{(1000)}(x)=997002000 e^x+2997000x e^x +3000 x^2 e^x +x^3e^x$

2. Desde $g(x)=\exp(x^{999}) = \sum_{n=0} \frac{x^{999n}}{n!}$ no hay $x^{1000}$ término, por lo que $g^{(1000)}(0)=0$

3. Esta es muy fácil, puedes averiguarlo.