$\mathcal{O}(n,\mathbb R)$ abarca $\mathcal{M}(n,\mathbb R)$

Question

Sea $n\geq 3$ . Se puede demostrar que el grupo ortogonal de grado $n$ sobre el campo real, $\mathcal{O}(n,\mathbb R)$ abarca todo el espacio vectorial de los reales $n\times n$ matrices, $\mathcal{M}(n,\mathbb R)$ . Más concretamente, si $k(n)$ denota el menor número entero tal que cada $M\in \mathcal{M}(n,\mathbb R)$ puede escribirse como $$M=\sum_{i=1}^{k(n)} \lambda_i O_i, \quad \text{with}\quad (\lambda_i, O_i)\in (\mathbb R, \mathcal{O}(n,\mathbb R)).$$ Tras demostrar que $\forall n>2, k(n)\leq 4$ ¿se pueden encontrar los números enteros tales que $k(n)=4$ ?

Answer 1

El siguiente documento puede ser útil: Chi-Kwong Li y Edward Poon, Descomposición aditiva de matrices reales Linear and Multilinear Algebra, 50(4):321-326, 2002. Esencialmente dice que $k(n)\le4$ pero no está claro si el límite es estricto.