Como la función gamma es una continuación analítica de la función factorial, podemos encontrar el factorial de valores complejos. ¿Cómo se hace? He buscado mucho en Internet y puedo encontrar valores a través de wolfram alpha, pero ¿cómo puedo calcularlos yo mismo? Esto es por pura curiosidad. ¿Podemos utilizar la definición integral de la función gamma y luego alguna técnica numérica como la regla de Simpson para aproximar la integral compleja? Por favor si alguien me puede indicar la dirección correcta o si no es mucho pedir que me proporcione un ejemplo. Muchas Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como no hay respuestas y sí algunas buenas ideas en los comentarios, intentaré que esta sea una respuesta coherente y bonita.
Como uno notó:
$$\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)$$
Esto se ocupa de los números complejos casi por completo. De hecho, ayuda a reducir el problema a entradas puramente imaginarias si tenemos:
$$\Gamma(n+a)$$
Y $a$ es cualquier número entero.
Sin embargo, los métodos que utilizamos para resolver este problema funcionan para valores complejos y valores imaginarios: utilizamos aproximaciones.
Imagínese tratando de encontrar $\Gamma(0.5)$ . La mejor manera (¿la más sencilla?) de resolver esto es escribirlo como una integral y resolver la integral de la misma manera que resolvemos una integral irresoluble, utilizamos el método de la suma. Y sorprendentemente, el método de la suma funciona con números complejos.
Obsérvese también que la suma converge muy rápidamente, por lo que sólo tenemos que aproximar la suma. Es decir, resolver la integral de $x=0$ a $x=10$ utilizando rectángulos aproximados con una anchura de $\Delta x=0.001$ . Haciendo esto, obtenemos una muy buena aproximación para $\Gamma(0.5)$ . ¿Quieres obtener una aproximación mejor? Reduce $\Delta x$ o aumentar la integral más cerca de $\infty$ .
Aplica el mismo método para los números complejos.
