Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico, y digamos $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy tal que tiene una subsecuencia convergente $(x_{n_k})$ que converge a $x$ . Mostramos $x_n \to x$ . Sea $\epsilon > 0$ . Toma $N >0$ tal que para todo $n,m > N$ tenemos
$$d(x_n,x_m) < \frac{\epsilon}{2}.$$
Por hipótesis, podemos tomar también $K >0$ tal que para todo $n_k > K$ tenemos
$$ d(x_{n_k},x) < \frac{\epsilon}{2}.$$
Ponga $M = \max \{N,K\}$ . Por lo tanto, para todos $n,m,n_k > M$ tenemos
$$ d(x_n,x) \leq d(x_n, x_{n_k}) + d( x_{n_k},x) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.$$
Por lo tanto, $x_n \to x$ como desee.
¿Es éste un planteamiento correcto? Muchas gracias de antemano.
