¿Cómo se calculan los invariantes de ciertos Grassmannianos dentro de la representación regular?

Question

Barry Mazur y yo nos hemos encontrado con la siguiente pregunta, motivada por (pero independiente de de) cuestiones relativas a la conjetura de Leopoldt.

Supongamos que $\mathbf{C}$ son los números complejos.

Sea $H$ sea un conjunto finito, y sea $S$ sea un subconjunto de $H$ . El espacio vectorial $X = \mathbf{C}^{H}$ tiene una base canónica formada por los generadores $[h]$ para $h \in H$ . Sea $X_S$ denota el subespacio generado por $[h]$ para $h \in S$ . Supongamos que consideramos un subespacio $U$ de $X$ y pida el dimensión de $U \cap X_S$ . La respuesta dependerá de $U$ pero esperamos que la codimensión de la intersección genéricamente sea la suma de las codimensiones de cada espacio. En otras palabras, sea $G(X,U)$ denotan el conjunto de espacios vectoriales $V$ en $X$ que son abstractamente isomorfas a $U$ - es decir, $\dim(V) = \dim(U)$ . Entonces $$\min \{ \dim(V \cap X_S), \ | \ V \in G(X,U)\} = \min\{0,\dim(U) + |S| - |H|\}\}.$$ En efecto, $G(X,U)$ es un grassmanniano, y la igualdad se mantiene en un conjunto abierto en $G(X,U)$ .

Supongamos ahora que $H$ es un grupo . Seguimos suponiendo que $S$ es un subconjunto de $H$ (no necesariamente un subgrupo), y que $X_S$ es el subespacio generado por $[h]$ para $h \in S$ . El espacio vectorial $X$ ahora tiene una estructura extra --- tiene una acción izquierda y derecha de $H$ , de hecho, $X \simeq \mathbf{C}[H]$ no es más que la representación regular de $H$ . Supongamos que $U$ es un subespacio de $X$ y supongamos además que $H.U = U$ Eso es, $U$ es una representación de $H$ y la inclusión $U \subseteq X$ es una inclusión de la izquierda $X = \mathbf{C}[H]$ -módulos. Supongamos ahora que $G_H(X,U)$ es el conjunto de $X$ -módulos $V$ en $X$ que son abstractamente isomorfas a $U$ como representaciones de $H$ --- esto está contenido en pero generalmente mucho menor que el espacio de subespacios vectoriales isomorfos a $U$ . La pregunta es: ¿se puede calcular $$\delta(H,S,U) := \min \{ \dim(V \cap X_S), \ | \ V \in G_H(X,U)\}.$$ Es decir: ¿cuál es la dimensión esperada de esta intersección dado la estructura de $U$ como $H$ -¿Módulo?

$G_H(X,U)$ puede identificarse con un producto de Grassmannianos, a saber $G(v_i,u_i)$ donde $V_i$ son las representaciones irreducibles de $H$ , $v_i = \dim(V_i)$ y $u_i = \dim \mathrm{Hom}_H(V_i,U)$ . Un límite inferior para $\delta(H,S,U)$ viene dada por $\min\{0,\dim(U) + |S| - |H|\}$ pero esto es óptimo en general.

Observación: Si $u_i \in \{0,v_i\}$ para todos $i$ entonces $G_H(X,U)$ consiste en un único punto.

Ejemplo: Sea $H = \langle \sigma \rangle$ sea cíclico de orden cuatro. Sea $U$ consiste en el subespacio generado por $[1] + [\sigma^2]$ y $[\sigma] + [\sigma^3]$ . Entonces $G_H(X,U) = \{U\}$ es un punto. Si $S = \{[1],[\sigma^2]\}$ entonces $\dim X_S \cap U = 1$ aunque $\dim(U) + |S| -|H| = 0$ .

La pregunta más general es: ¿Se puede calcular $\delta(H,S,U)$ ¿de una forma agradable?

Una pregunta más concreta es: ¿Se puede calcular $\delta(H,S,U)$ cuando $H$ tiene un elemento $c$ de orden dos y $U = X^{c = 1}$ es decir, los elementos de $X$ que $c$ actos de $1$ a la derecha. $u_i = \dim \mathrm{Hom}_H(U,V_i)$ es igual a $\dim(V_i,c = 1)$ en este caso.

Una pregunta aún más específica es: ¿Se puede calcular $\delta(H,S,U)$ cuando $H = S_4$ (con representaciones de dimensión $1$ , $1$ , $2$ , $3$ y $3$ y $U = X^{(12) = 1}$ tiene multiplicidades correspondientes $1$ , $0$ , $1$ , $1$ y $2$ ? ¿Qué pasa con $H = D_{8}$ o $D_{10}$ y $c$ ¿es un reflejo?

Ejemplo: Supongamos que $U = X^{c = 1}$ y supongamos que $c$ es fundamental en $H$ . Esta es exactamente la condición en $c$ para garantizar que $G_H(X,U)$ es un punto. Entonces $$\delta(H,S,U) = \frac{1}{2} | \{ s \in S \ | \ cs \in S\}|.$$ Esto generaliza el Ejemplo anterior, en el que $c = \sigma^2$ .

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Permítanme hacer la siguiente observación. Como mencioné en la pregunta, se puede obtener la respuesta completa cuando $c$ es central. En este caso, se obtienen intersecciones genéricas "mayores" de lo que se espera del álgebra lineal, al menos cuando $|G| > 2$ . De ello se deduce que algo similar ocurre siempre que $G$ admite un cociente $G/H$ de orden $> 2$ donde $c$ es central. Esto explica por qué cabría esperar respuestas degeneradas en grupos diedros $D_{2n}$ de orden divisible por $4$ . Habiendo hecho $D_3 = S_3$ a mano, el siguiente caso "interesante" es $D_5$ . Si he entendido bien la respuesta de Greg, la intersección genérica es siempre lo más pequeña posible para $D_5$ y $D_7$ y cualquier $S$ . Así pues, la conjetura más optimista es que siempre es así, siempre que $|G^{ab}| \le 2$ por ejemplo, si $G = S_4$ .

Answer 1

Esto no es una solución completa, pero es una manera de calcular las cosas de una manera más o menos agradable. El módulo $U$ tiene un módulo complementario $U^\perp$ y el núcleo de un mapa de módulo genérico $F:X \to U^\perp$ es isomorfo a $U$ . A continuación, puede ver la restricción $F:X_S \to U^\perp$ e intentar calcular su rango genérico. Esto pone las cosas lo más cerca posible del álgebra lineal, porque $F$ procede de una familia lineal de mapas lineales. La primera pregunta es si existe alguna intersección anómala, lo que equivale a preguntar si $F$ tiene rango máximo, lo que equivale a calcular los menores completos de $F$ . Cada menor maximal corresponde simplemente a restringir a $X_T$ para un subconjunto $T \subseteq S$ tal que $|T| = \dim U^\perp$ . Se trata simplemente de la afirmación de que $$\dim (X_S \cap V) - \dim (X_T \cap V) \le \dim X_S - \dim X_T,$$ lo cual es cierto únicamente porque $X_T$ es un subespacio de $X_S$ .

Usted pregunta por ciertos casos especiales en los que $U$ procede de una representación de permutación $H/c$ y $U^\perp$ se induce así a partir de la representación de signos $c = -1$ . En tal caso, la matriz de $F$ tiene una forma simple en la que cada entrada es una única variable, y las variables se niegan o se repiten entre las entradas. Por ejemplo, si $H = S_3$ y $c$ es una transposición, entonces obtengo $$F = \begin{pmatrix} x & -y & -x & z & y & -z \\ y & -x & -z & x & z & -y \\ z & -z & -y & y & x & -x \end{pmatrix}$$ para todos los $X$ . Nos interesan los determinantes y rangos de menores de esta matriz, y evidentemente podemos eliminar todos los signos menos sin cambiar ninguna respuesta. Esto se explica por el hecho de que $c$ se complementa con el grupo alterno y podemos tensor $X$ mediante la representación de signos para cambiar $U$ con $U^\perp$ . Por la misma razón, podemos cambiar $U$ y $U^\perp$ también para los casos diedros, ya que $c$ se complementa con un subgrupo de índice 2. Entonces $F$ se convierte en un mapa de módulo genérico entre dos representaciones de permutación de $H$ Cada entrada de la matriz de un $F$ es una única variable.

Es fácil comprobar que para el ejemplo de $S_3$ y $c$ una transposición, todo menor completo tiene la propiedad de que una de las tres variables ( $x$ , $y$ o $z$ ) es una transversal. Esta es una condición suficiente para que ese menor sea genéricamente distinto de cero. Por lo tanto, no hay intersecciones genéricas anómalas para este $H$ y esto $U$ .

Si $c$ es central, entonces la matriz de $F$ tiene columnas repetidas. Obviamente, si un menor de $F$ tiene columnas repetidas, entonces desaparece. Pero ésta no es la única forma de obtener una intersección genérica anómala. Por ejemplo, si $H = D_4$ y $c$ es un reflejo, entonces (si cambia de $U = X^{c=1}$ a $U = X^{c=-1}$ como he argumentado que se puede), se obtiene la matriz $$F = \begin{pmatrix} x & y & z & w & x & y & z & w \\ w & x & y & z & y & z & w & x \\ z & w & x & y & z & w & x & y \\ y & z & w & x & w & x & y & z \end{pmatrix}$$ Las columnas numeradas impar son un menor que desaparece. La razón es que el vector $$(1, 0, 1, 0,-1, 0, -1, 0)$$ está siempre en $V$ .

Así que, aunque ciertamente no tengo una solución completa, puedo encontrar ejemplos de $S$ donde no hay intersección anómala (porque una de las variables es transversal), y ejemplos donde hay intersección anómala (porque toda admisible $V$ contiene el mismo vector en $X_S$ ). Y, esta formulación del problema facilita la comprobación de un determinado $S$ por ordenador.

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En otras palabras, la cuestión es esencialmente un problema de matrices. El conjunto $F(H)$ es un conjunto que se extiende en el módulo $U^\perp$ y usted está interesado en la estructura matroide de $F(H)$ para un genérico $H$ porque un circuito o subconjunto linealmente dependiente $F(S)$ le ofrece una $S$ tal que $V \cap X_S$ es mayor de lo esperado. Escribí un pequeño programa en Sage para calcular este matroid para $D_n$ donde el elemento $c$ es una reflexión, utilizando un práctico paquete matroid escrito por David Joyner.

n = 6                   # For the dihedral group D_n
gen = primes(100,200)   # Generic parameters

# http://boxen.math.washington.edu/home/wdj/sagefiles/matroid_class.sage
load 'matroid_class.sage'

R.<x,y> = PolynomialRing(ZZ,2)
names = [x^k for k in range(n)] + [x^k*y for k in xrange(n)]
a = list(gen)[:n]
F = matrix(QQ,[[a[(i-j)%n] for i in range(n)] + [a[(i+j)%n] for i in range(n)]
    for j in range(n)])
for S in vector_matroid(F).circuits():
    if len(S) <= n: print [names[k] for k in S]

Para $D_4$ y $D_6$ el programa encontró varios circuitos matroides de tamaño 4 y 6, respectivamente. Para $D_5$ y $D_7$ no encontró ningún circuito no trivial. No entiendo su estructura completa, pero ahí están. Para $D_8$ Al final se obtiene que hay 362 circuitos no triviales de tamaño 8 y ninguno más pequeño. El primero de la lista es $S = \{1,x,x^2,x^3,y,xy,x^2y,x^3y\}$ si el grupo es $$D_8 = \langle x,y | x^8 = y^2 = xyxy = 1 \rangle$$ y $y=c$ .

Aunque este paquete es cómodo, no es eficiente. Con un código más eficiente, debería ser posible encontrar todos los circuitos no triviales en $D_{10}$ y tal vez $S_4$ .