Si etiquetas las distancias pequeñas en la figura $\Delta x$ y $\Delta y$ en lugar de $dx$ y $dy$ entonces la cifra en realidad ilustra una idea razonablemente buena de una forma de calcular numéricamente el área de una región. En lugar de una simple suma de Riemann (que implicaría sólo rectángulos) tenemos algo parecido a una aplicación del método trapezoidal (y si se utilizaran estas mismas formas para integrar con respecto a $y$ entonces creo que sería sea una aplicación del método trapezoidal).
Este es el aspecto de la suma si fijamos $n + 1$ puntos $(x_0,y_0),(x_1,y_1),\ldots,(x_i,y_i),\ldots,(x_n,y_n)$ a lo largo del cuarto de arco del círculo desde el positivo $y$ -al eje positivo $x$ -eje, de modo que $(x_0,y_0) = (0,r)$ y $(x_n,y_n) = (r,0)$ , y definimos $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ y $\Delta y_i = y_i - y_{i-1}$ . Podemos escribir el área $A$ como
$$\begin{eqnarray} A &=& 4 \sum_{i=1}^n \left(x_{i-1}\;(-\Delta y_i) + \frac{(\Delta x_i)(-\Delta y_i)}{2}\right) \\ & =& -4 \sum_{i=1}^n\left(x_{i-1} \frac{\Delta y_i}{\Delta x_i} - \frac{\Delta y_i}{2}\right) \Delta x_i \\ & =& -4 \sum_{i=1}^n\left(x_{i-1} \frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)\Delta x_i -4 \sum_{i=1}^n\left(\frac12\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)(\Delta x_i)(\Delta x_i) \end{eqnarray}$$
Observe que escribo $(-\Delta y_i)$ en lugar de $(\Delta y_i)$ donde escribió $dy$ . Eso es porque como $x$ aumenta, $y$ disminuye, por lo que debe definir las cosas de manera que $\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i} < 0$ . Dejar $\Delta x_i > 0$ y $\Delta y_i < 0$ funciona. Pero, por supuesto, la base $\times$ fórmula de altura tiene que utilizar las magnitudes de esos longitudes, es decir, queremos multiplicar dos números positivos.
Ahora considere lo que ocurre si aumenta $n$ indefinidamente, añadiendo más puntos en tal manera que el máximo de $\Delta x_i$ convergió a cero. Esto es esencialmente convertir la suma en una integral definida, como originalmente querías hacer. Escribiendo el máximo de $\Delta x_i$ como $$\Delta x_{max} = \max_{1\leq i\leq n}\Delta x_i,$$ tenemos $$ 0 < -\sum_{i=1}^n\left(\frac12\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)(\Delta x_i)(\Delta x_i) < - \sum_{i=1}^n\left(\frac12\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right) (\Delta x_i)(\Delta x_{max}) = \frac12 r\; (\Delta x_{max}). $$ Es decir, como $\Delta x_{max}$ llega a cero, también lo hace la suma de la izquierda. Esto nos dice que el área será simplemente el límite del otros suma, eso es, $$ A = \lim_{\Delta x_{max} \to 0} - \sum_{i=1}^n\left(x_{i-1} \frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)\Delta x_i = -\int_0^r\left(x \frac{dy}{dx}\right)dx. $$ Desde $y$ va de $r$ a $0$ como $x$ va de $0$ a $r$ , si hacemos un cambio de variables de forma que integremos con respecto a $y$ en lugar de $x$ la integral es $\int_0^r x\;dy.$
