Debate sobre la elección del método óptimo de búsqueda: $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{\cos2x}\cdot e^{2x^2}-1}{\ln{(1+2x)\cdot\ln{(1+2\arcsin{x})}}}$

Question

¿La regla de L' Hospital sirve para calcular? $$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{\cos2x}\cdot e^{2x^2}-1}{\ln{(1+2x)\cdot\ln{(1+2\arcsin{x})}}}$$

He publicado esta pregunta en Quora no esperando las respuestas sobre la búsqueda del límite en sí, sino para eliminar todas las malas opciones. Como no hemos pasado formalmente por La regla de L'Hospital Intenté evitarlo porque me parecía un cliché. También tomé la conmutatividad entre funciones continuas y límites. Desde $x\to 0$ pensé que tal vez podría sustituir $x$ por $\frac{1}{y}$ cuando $y\to\infty$ . Sin embargo, eso tampoco me ayudó. No estaba seguro de qué términos puedo sustituir por otra función, ya que no son lo mismo. Por ejemplo $\sqrt{\cos{2x}}\;\&\;e^{2x^2}$ .

He examinado una respuesta de Paramanand Singh (prefiero su enfoque):

Resuelve sin la regla de L'Hopital: $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{\cosh{(3x^2)}}\cdot e^{4x^3}-1}{x^2\tan(2x)}$

En algún momento, me di cuenta de que todos mis intentos de manipulación son inadecuados.

Mi pregunta: ¿cómo elegir los sustitutos de las funciones y hay algún otro enfoque que implique la manipulación pura de fracciones algebraicas? ¿Y alguna otra sugerencia/opinión sobre si L'Hospital es rentable?

No hemos pasado por tanto, lo cual es preocupante y ahora tenemos que trabajar todos por nuestra cuenta (no me quejo, eso es genial y motivador en la mayoría de los casos, pero a veces es bastante difícil sin una literatura adecuada). Steppan Konoplev solución:

Sea $f(x),g(x)$ son el numerador y el denominador respectivamente. Dado que $$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}, \sqrt{1+x} \approx 1+ \frac{x}{2}, e^x \approx 1+x,$$ que tenemos: $$f(x) \approx \sqrt{1-2x^2}(1+2x^2) - 1 \approx (1-x^2)(1+2x^2)-1 = x^2-2x^4\;\text{around}\;x=0$$

Mi nota: $e^{2x^2}\approx1+2x^2\;$ ?

Por otro lado: $\arcsin x \approx x, \ln(1+x) \approx x\;$ así que tenemos: $$g(x) \approx \ln(1+2x)^2 \approx 4x^2\;\text{around}\;x=0$$ Así: $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2+O(x^4)}{4x^2+O(x^4)}\to\frac{1}{4}\;\text{as}\;x \to 0.$$

También leí allí:

La forma simplificada del numerador es fácil, pero el denominador es complicado si escribes todos los términos en detalle. Parece que sería más fácil utilizar los primeros términos de las expansiones de series de potencias.

Answer 1

Mi método preferido es utilizar un conjunto de límites bien conocidos combinados con manipulación algebraica. Se trata de un enfoque sencillo que requiere estar familiarizado con las leyes de límites. Técnicas como la regla de L'Hospital y las series de Taylor son potentes, pero requieren cierto cuidado (especialmente en el caso de la regla de L'Hospital, hay que asegurarse primero de que se cumplen los requisitos previos de la regla).

Por otro lado, el uso de límites bien conocidos requiere una comprensión más profunda. Consideremos, por ejemplo, el límite $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\log(1+x)}{x}=1$$ Hay que tener en cuenta que el argumento de la función log es decir $(1+x)$ tiende a $1$ y el denominador tiende a $0$ . Así, cada vez que vea una expresión como $$\log\text{(something)} $$ donde "algo" tiende a $1$ tienes que expresarlo como $$\frac{\log(\text{something})} {\text{something} - 1}\cdot(\text{something} - 1)$$ y ver si esto te ayuda o no.

Este tipo de comprensión es necesaria para todos los límites bien conocidos. Por ejemplo, ¿se puede saber qué hacer con $\sqrt{\cos 2x}$ en el numerador (véase la pregunta actual) dado el conocido límite $$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x} {x^2}=\frac{1}{2}?$$ Hágase la misma pregunta sobre $e^{2x^2}$ en el numerador dado el conocido límite $$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=0$$ Otra regla general es que utilice la Regla de L'Hospital sólo cuando la diferenciación requerida sea condenadamente fácil (sin cálculos, sólo de memoria) y la expresión resultante sea más sencilla . Por ejemplo, puede aplicarlo en $$\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x} {x^3}$$ para obtener $$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x} {3x^2}$$ Si necesita utilizar la regla de diferenciación de productos para aplicar la regla de L'Hospital, entonces es mejor que no la aplique.

Answer 2

$$\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{\cos2x}\cdot e^{2x^2}-1}{\ln(1+2x)\cdot\ln(1+2\arcsin x)}$$

$$=\dfrac14\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\cos2x\cdot e^{4x^2}-1}{x^2}\cdot\dfrac1{\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+2x)}{2x}}\cdot\dfrac1{\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+2\arcsin x)}{2\arcsin x}}\cdot\dfrac1{\lim_{x\to0}\dfrac{\arcsin x} x}\cdot\lim_{x\to0}\dfrac1{\sqrt{\cos2x}\cdot e^{2x^2}+1}$$

Sólo el primer límite merece un tratamiento más detallado

$$\lim_{x\to0}\dfrac{\cos2x\cdot e^{4x^2}-1}{x^2}=\lim_{x\to0}\dfrac{(1-2\sin^2x)(e^{4x^2}-1)}{x^2}=\lim_{x\to0}\dfrac{e^{4x^2}-1}{x^2}-2\lim_{x\to0}\dfrac{\sin^2x}{x^2}(e^{4x^2}-1)=4$$