¿Pueden ser imaginarias las asíntotas?

Question

Actualmente estoy aprendiendo sobre las asíntotas y estoy tratando de resolver el siguiente ejemplo:

$$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$

Para encontrar las asíntotas verticales, el libro que estoy siguiendo dice que después de factorizar completamente, debes igualar cada factor del denominador a $0$ y:

Cada solución que obtengas que no haga que el numerador sea 0 te dará una asíntota vertical de la función.

De acuerdo a eso, hago lo siguiente:

$$ \begin{align} x^2+1=0 \\ x^2=-1 \\ x = \pm\sqrt{-1} \\ x = \pm i \end{align} $$

Ahora, ni $i$ ni $-i$ hacen que el numerador sea $0$, ¿significa eso que $x=i$ y $x=-i$ son asíntotas verticales de la función $f$? Y si es así, ¿qué significa realmente eso?

Wlinkem|Alpha no menciona ninguna asíntota vertical, solo la horizontal en $y=0$.

Answer 1

Permíteme intentar responder esto de una manera más directa que evite alusiones al análisis complejo "en el futuro".

Cuando graficas esta función en un pedazo de papel 2D, estás graficando una entrada real versus una salida real. Obteniendo una curva unidimensional en un espacio bidimensional. Una asíntota es una propiedad significativa de una curva unidimensional incrustada en un espacio más grande.

Si graficaras esta función como una función compleja, considerando los números complejos como viviendo en el plano complejo (bidimensional), tendrías dos ejes de entrada y dos ejes de salida, para un total de cuatro dimensiones. El gráfico de la función sería una superficie bidimensional en un espacio de cuatro dimensiones. Obviamente, esta situación sería sustancialmente más complicada, por lo que es seguro asumir que solo se te pedirá lidiar con el problema unidimensional más simple descrito anteriormente.

Answer 2

Para ilustrar lo que 3296 estaba tratando de decir, considera estos dos gráficos:

Estos son gráficos de las partes real e imaginaria de la función $\dfrac1{z^2+1}$, donde $z=x+i y$. Los polos de la función en $z=\pm i$ se ven claramente en los gráficos. Dado que estamos limitados a ver (una proyección bidimensional de) tres dimensiones, aquí estamos obligados a ilustrar los polos representando por separado las partes real e imaginaria de la función.

Ahora, mira una "rebanada" de la parte real:

De inmediato ves el gráfico de la función a la que estás acostumbrado en la línea real. Los polos no se encuentran en la rebanada, y esto corresponde a que no ves asíntotas verticales en los gráficos de tu función en la línea real.

Por cierto, esta función es el ejemplo habitual para demostrar el llamado "fenómeno de Runge": cualquier intento de aproximar esta función con un polinomio falla debido a los polos en el plano complejo, incluso si solo estás considerando valores reales del argumento.

Answer 3

El concepto de "asíntota" se utiliza principalmente en el análisis real, por lo que cuando se pregunta sobre asíntotas, generalmente se sobreentiende que estamos considerando la función solo en el eje real.

En el caso complejo diríamos que la función tiene puntos singulares en $i$ y $-i$, lo cual se corresponde más o menos con asíntotas verticales (pero de hecho tienen propiedades mucho más agradables y sutiles). No deberías preocuparte por esas cosas hasta que llegues al análisis complejo.

Answer 4

Dado que presumiblemente tu dominio son los números reales, el hecho de que $\pm i$ provoque que el denominador sea 0 no tiene ninguna consecuencia para ti. Es decir, si recorres todos los números reales y los sustituyes uno por uno en la función, nunca verás $x = i$ o $x = -i$ porque no son números reales. Dado que nunca vas a seleccionar esos dos "malos" $x, nunca vas a dividir entre 0, y por lo tanto nunca vas a tener un lugar donde puedan surgir asíntotas.