Papa Rudin teorema 1.12 $(a)$

Question

Esta es la definición que se utiliza en la demostración del teorema:

Ahí está el teorema:

Supongamos que $\mathfrak M$ es un $\sigma$ -álgebra en $X$ y $Y$ es un espacio topológico.

Sea $f$ mapa $X$ en $Y$ .

$(a)$ Si $\Omega$ es la colección de todos los conjuntos $E$ $\subset$ $Y$ tal que $f^{-1}(E)$ $\in$ $\mathfrak M$ entonces $\Omega$ es un $\sigma$ -álgebra en $Y$ .

Aquí está la prueba: ( es del libro de papa rudin).

$(a)$ se deduce de las relaciones

$f^{-1}(Y) = X$ ,

$f^{-1}(Y-A) = X - f^{-1}(A)$ ,

$f^{-1}$ ( $A_1$ $\cup$ $A_2$ $\cup$ ...) $=$ $f^{-1}(A_1)$ $\cup$ $f^{-1}(A_2)$ $\cup$ ...

No entiendo ¿Cómo $(a)$ se deduce de estas relaciones.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Para demostrar que $\Omega$ es un $\sigma$ - álgebra, tienes que demostrar tres cosas:

1. $Y\in\Omega$ .
2. Si $A\in\Omega$ , $A^\complement\in\Omega$ :
3. Si $A=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ con cada $A_n\in\Omega$ entonces $A\in\Omega$ .

Y lo hemos hecho:

1. $Y\in\Omega$ porque $f^{-1}(Y)=X$ y $X\in\mathfrak M$ .
2. Si $A\in\Omega$ entonces $f^{-1}(A)\in\mathfrak M$ . Así que.., $\left(f^{-1}(A)\right)^\complement\in\mathfrak M$ . Pero $\left(f^{-1}(A)\right)^\complement=f^{-1}\left(A^\complement\right)$ y, por lo tanto $A^\complement\in\Omega$ .
3. Si $(A_n)_{n\in\Bbb N}$ es una secuencia de elementos de $\Omega$ entonces, para cada $n\in\Bbb N$ , $f^{-1}(A_n)\in\mathfrak M$ . Así que.., $\bigcup_{n=1}^\infty f^{-1}(A_n)\in\mathfrak M$ . Pero entonces $$f^{-1}\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)=\bigcup_{n=1}^\infty f^{-1}(A_n)\in\mathfrak M,$$ y por lo tanto $\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\Omega$ .

Answer 2

Desea verificar que, para los conjuntos $A,A_1,A_2,...$ sur $\Omega$ tenemos: $$Y\setminus A,\bigcup A_n\in\Omega,\bigcap A_n\in\Omega$$ Por definición de $\Omega$ sólo tiene que comprobar si $f^{-1}$ aplicada a estos conjuntos da un elemento de $\mathfrak{M}$ .

Para los elementos $E_n=f^{-1}(A_n)\in\mathfrak{M}$ su unión (contable), intersección y complemento están contenidos en $\mathfrak{M}$ por definición de un $\sigma$ -álgebra. Como la preimagen de una unión es una unión de preimágenes (por ejemplo), se obtiene lo que se necesita.

$$f^{-1}\left(\bigcup A_n\right)=\bigcup f^{-1}(A_n)=\bigcup E_n\in\mathfrak{M}$$