Minimice $x^TAx$ con respecto a $T$ donde $A=T\odot T^{-1}$

Question

\begin{array}{ll} \text{minimize} & x^TAx\\\quad T\in\mathbb{R}^{n\times n}\\ \text{subject to} & A=T\odot T^{-1}\\&T>0\end{array}

donde el símbolo $\odot$ denota el producto elemental/Hadamard, y $x_i>0.$

---

Mi intento:

Aquí $T\odot T^{-1}$ se denomina matriz de ganancia relativa. He encontrado que $\lambda_{min}(A)\geq 1$ (en la página 483, problema 7.5.P14), entonces $x^TAx\geq \lambda_{min}(A)x^Tx\geq x^Tx$ . Entonces tenemos que construir $A$ tal que $A^{\frac{1}{2}}x=x$ . Si tomamos $A=T=I$ entonces conseguimos $x^TAx=x^Tx$ .

Contraejemplo de mi intento:

x=[5 2]';
for i=1:500
   P=rand(2,2);
   T=P'P;
   d(i)=x'*(T.*inv(T))*x-x'*x;
end
plot(d)

$d$ aquí es estrictamente mayor que cero.

---

Edición: había un error en el código. Ahora está corregido. Parece que el $T=I$ es óptima.

Answer 1

Tal vez sea útil para alguien. Si $A$ tiene todos los valores propios mayores que $1$ entonces $x^TAx\geq x^Tx$ por lo que necesitamos encontrar $T$ tal que su ganancia relativa array $T\odot T^{-1}=I.$ Una propiedad de la matriz de ganancia relativa es que para cualquier triangular superior $T$ su matriz de ganancia relativa es igual a la matriz de identidad. Por lo tanto, podemos elegir la diagonal $T$ con todos los elementos diagonales estrictamente mayores que cero.