Ecuación con polinomio con coeficientes enteros.

Question

Sea $p>3$ sea un número primo. Demostrar que no existe un par de polinomios $(f,g)\in{\mathbb{Z}[X]\times\mathbb{Z}[X]}$ tal que:

$X^{2p}+pX^{p+1}-1=[(X+1)^p+p\cdot f(X)]\cdot[(X-1)^p+p\cdot g(X)]$

Mi mejor intento en este problema fue mirar las raíces del polinomio de la izquierda y demostrar que no tiene raíces reales (ahora sé que sí las tiene). Si hubiera demostrado esto, entonces habría sabido que sobre $\mathbb{R}$ el polinomio está formado por componentes irreducibles de grado 2 (con raíces $z$ y su conjugado complejo).

Answer 1

En aras de la contradicción supongamos tal factorización, entonces en $X=1$ tenemos $p=(2^p+pf(1))\cdot (p\cdot g(1))$ y tan especialmente $1=(2^p+pf(1))\cdot g(1)$ . Desde $f(1),g(1)$ son números enteros, $2^p+pf(1)=\pm 1$ y modulo $p$ obtenemos $2^p \equiv \pm 1 \pmod{p}$ . Por el pequeño teorema de Fermat sabemos que $2^p \equiv 2 \pmod p$ y así $2 \equiv \pm 1 \pmod {p}$ . Así $p \mid 3$ o $p \mid 1$ ambos imposibles para $p>3$ .