¿Cómo puedo comprobar si las pendientes de regresión son estadísticamente diferentes?

Question

Tengo un conjunto de datos compuesto por un parámetro medido (variable dependiente) en función del tiempo (variable independiente), antes y después de un evento de intervención.

He calculado la pendiente y el intercepto de este conjunto de datos antes y después de la intervención.

¿Existe alguna prueba para determinar si las dos pendientes son estadísticamente diferentes entre sí? He mirado la diferencia en diferencia, pero no parece que se ajuste del todo bien...

Trabajo en Matlab, pero también tengo acceso a SPSS.

Answer 1

Suponiendo que se dispone de los datos originales y no sólo del resumen de los ajustes, la solución general a este problema es ajustar un modelo con un interacción es decir, volver a los datos y ajustar el modelo

$$ Y = \beta_0 + \beta_1 I(t>t_I) + \beta_2 (t-t_I) + \beta_3 I(t>t_I) (t-t_I) $$ donde $I(t>t_I)$ es un variable indicadora es decir, =1 si $t>t_I$ y 0 en caso contrario. En esta formulación,

• $\beta_0$ representa la media antes de la intervención
• $\beta_1$ representa un salto discontinuo en la media en $t=t_I$ (dependiendo de su problema, puede optar por dejar esto fuera del modelo)
• $\beta_2$ representa la pendiente antes de la intervención
• $\beta_3$ representa el cambio de pendiente antes frente a después: es decir, $\beta_2 + \beta_3$ es la pendiente después de la intervención. Una prueba t estándar contra la hipótesis nula $\beta_3=0$ es una prueba de la diferencia de pendiente.

Puede buscar un tratamiento más profundo de este tema en las rúbricas de diseños de regresión discontinua (normalmente cuando el predictor no es el tiempo), o análisis del punto de cambio / análisis de series temporales interrumpidas (cuando el predictor es el tiempo).

Answer 2

Si tiene dos regresiones de $Y$ en $X$ uno por grupo $A$ y otro para el grupo $B$ puede comprobar si diferencia en las pendientes de regresión así:

Hipótesis nula positivista:
$H_{0}^{+}: \beta_{A} - \beta_{B} = 0,$ con $H_{\text{A}}^{+}: \beta_{A} - \beta_{B} \ne 0$

Estadística de prueba para la hipótesis nula positivista:
$$t = \frac{\beta_{A}-\beta_{B}}{s_{\hat{\beta}_{A}-\hat{\beta}_{B}}}$$

Dónde $t$ tiene $n_{A} + n_{B} - 4$ grados de libertad, y $s_{\hat{\beta}_{A}-\hat{\beta}_{B}} = \sqrt{s_{\hat{\beta}_{A}}-s_{\hat{\beta}_{B}}}$ si $n_{A} = n_{B}$ como sugiere su diseño. (Y $s_{\hat{\beta}_{A}}$ y $s_{\hat{\beta}_{A}}$ son los errores estándar de las pendientes para $A$ y $B$ .)

Obtener el p -valor para $t$ así:
$$p = P\left(|T_{\text{df}}|\ge |t| \right)$$

Rechazar $H^{+}_{0}$ si $p \le \alpha$ .

Puede (y debe) también prueba para un equivalencia de las pendientes de regresión en al menos $\delta$ (la menor diferencia relevante de pendientes entre $A$ y $B$ que te importa) así:

Hipótesis nula negativista (forma general):
$H_{0}^{-}: |\beta_{A} - \beta_{B}| \ge \delta,$ con $H_{\text{A}}^{-}: |\beta_{A} - \beta_{B}| < \delta$

Hipótesis nula negativista ( dos pruebas unilaterales ):
$H_{01}^{-}: \beta_{A} - \beta_{B} \ge \delta,$ con $H_{\text{A}}^{-}: \beta_{A} - \beta_{B} < \delta$
$H_{02}^{-}: \beta_{A} - \beta_{B} \le -\delta,$ con $H_{\text{A}}^{-}: \beta_{A} - \beta_{B} > -\delta$

Estadística de prueba para la hipótesis nula negativista:
$$t_{1} = \frac{\delta- \left(\beta_{A}-\beta_{B}\right)}{s_{\hat{\beta}_{A}-\hat{\beta}_{B}}}\\ t_{2} = \frac{(\beta_{A}-\beta_{B})+\delta}{s_{\hat{\beta}_{A}-\hat{\beta}_{B}}}$$

Donde ambos $t$ s tienen $n_{A} + n_{B} - 4$ grados de libertad, y $s_{\hat{\beta}_{A}-\hat{\beta}_{B}} = \sqrt{s_{\hat{\beta}_{A}}-s_{\hat{\beta}_{B}}}$ si $n_{A} = n_{B}$ como sugiere su diseño.

Obtener el p -valor para ambos $t$ s (ambos estadísticos de prueba se construyen para ser pruebas unilaterales con cola superior p -valores):
$$p_{1} = P\left(T_{\text{df}} \ge t_{1} \right)$$ $$p_{2} = P\left(T_{\text{df}} \ge t_{2} \right)$$

Rechazar $H^{-}_{01}$ si $p_{1} \le \alpha$ y rechazar $H^{-}_{02}$ si $p_{2} \le \alpha$ . Usted puede sólo rechace $H^{-}_{0}$ si rechaza ambos $H_{01}^{-}$ y $H_{02}^{-}$ .

Combinando los resultados de ambas pruebas se obtienen cuatro posibilidades (para $\alpha$ nivel de significación, y $\delta$ umbral de pertinencia):

• Rechazar $H_{0}^{+}$ y no rechazan $H_{0}^{-}$ así que concluye: diferencia relevante en pendientes.
• No rechazar $H_{0}^{+}$ y rechazar $H_{0}^{-}$ así que concluye: equivalente pendientes.
• Rechazar $H_{0}^{+}$ y rechazar $H_{0}^{-}$ así que concluye: diferencia trivial en las pendientes (es decir, hay una diferencia significativa en las pendientes, pero a priori no le importan las diferencias tan pequeñas).
• No rechazar $H_{0}^{+}$ y no rechazan $H_{0}^{-}$ así que concluye: resultados indeterminados (es decir, sus datos son poco potentes para decir cualquier cosa sobre la diferencia de pendientes para un $\alpha$ y $\delta$ ).