Estoy buscando una prueba del teorema que dice:
A es un endomorfismo complejo definido positivo y, por tanto, A es autoadjunto. ¿Alguno de vosotros sabe cómo hacerlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En general, para $A:H\longrightarrow H$ operador lineal acotado en un espacio de Hilbert $H$ , $A\geq 0$ implica $A^*=A$ . En $A\geq 0$ significa $(Ax,x)\geq 0$ para cada $x\in H$ . Obsérvese que, de forma más general, podríamos suponer simplemente que $(Ax,x)\in \mathbb{R}$ para cada $x$ en $H$ .
Por supuesto, $(Ax,x)\in\mathbb{R}$ de donde $$ (Ax,x)=\overline{(Ax,x)}=(x,Ax)=(A^*x,x)\quad \Rightarrow \quad ((A-A^*)x,x)=0\quad \forall x\in H. $$
Así que se reduce a la siguiente propiedad clave, que es falsa en el caso real.
Es un hecho: si $T$ es un operador lineal (no necesariamente acotado) en un espacio complejo de Hilbert $H$ tal que $(Tx,x)=0$ para cada $x\in H$ entonces $T=0$ .
Prueba: los trucos habituales de polarización, suponiendo semilinealidad en la primera variable. Con $x+y$ obtenemos $$ 0=(T(x+y),x+y)=(Tx,y)+(Ty,x). $$ Y con $x+iy$ , $$ 0=(T(x+iy),x+iy)=i(Tx,y)-i(Ty,x). $$ De ello se deduce que $(Tx,y)=0$ para cada $x,y$ de donde $Tx=0$ para cada $x$ . $\Box$ .
