Hola, estoy buscando una motivación para los nombres genus y spinor genus de una red (y spinor norm de una isometría).
¿Existe alguna relación entre el género de una red y el género de una curva algebraica?
¿Está relacionada con la física la norma espinor utilizada en la teoría de números? Es decir, si tengo una isometría en un espacio cuadrático o sesgado-hermitiano y calculo su norma espinor... ¿Hay alguna interpretación física para eso?
Muchas gracias.
Dado un espacio cuadrático $(V, q)$ y una transformación ortogonal $\sigma \in O(V,q)$ la norma espinor de $\sigma$ es distinto de cero si y sólo si $\sigma$ no está en la imagen del mapa canónico $Pin(V,q) \to O(V,q)$ . Si $\sigma \in SO(V,q)$ podemos decir lo mismo utilizando el mapa $Spin(V,q) \to SO(V,q)$ . Es una forma refinada de medir el fracaso de un elemento para provenir del grupo de espín, y se puede ver como un mapa de frontera en la cohomología de Galois (véase, por ejemplo, Wikipedia ).
No conozco una conexión profunda con la física, pero se plantea en el siguiente sentido: si $(V,q)$ es un espacio real indefinido de dimensión al menos 3, como $\mathbb{R}^{3,1}$ entonces el grupo pin sólo tiene 2 componentes conectadas, mientras que el grupo ortogonal tiene 4 - podemos reflejar en vectores de norma positiva o negativa para obtener simetrías discretas de tipo P o T. El grupo pin sólo mapea al subgrupo de $O(3,1)$ generadas por reflexiones en vectores de norma positiva, ya que éstas son precisamente las transformaciones con norma espinor positiva. El grupo de espín es conexo, y mapea al grupo conexo $SO_0(3,1)$ mientras que $SO(3,1)$ contiene simetrías PT que invierten la orientación tanto del espacio como del tiempo.
El género espinor es una versión de esto que utiliza valoraciones adicionales - dos retículos tienen el mismo género espinor si para todas las terminaciones se pueden transformar los respectivos cambios de base mediante transformaciones ortogonales con género espinor trivial.
Añadiendo a la respuesta anterior: En realidad en su forma original debido a Eichler y Kneser no se utiliza $Pin$ sino el grupo de espín, que es la cubierta simplemente conexa de dos pliegues del grupo ortogonal especial y debe su nombre a su uso en la teoría cuántica.
El término género fue introducido por Gauss (genus en latín, Geschlecht en alemán). Como ya se ha señalado, no es más que una noción de agrupación de cosas.
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