Coseno de una matriz

Question

Me encontré con esta pregunta, formulada en una oposición. Es la siguiente.

Dada una matriz M = \begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix} ¿cuál es el valor de cos(M/6)?

He probado la expansión en serie pero creo que hay una forma alternativa de hacerlo, cualquier ayuda es de agradecer.

Las opciones dadas son

\begin{bmatrix}1/2&1\\1&1/2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sqrt3/4&-\sqrt3/4\\-\sqrt3/4&\sqrt3/4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sqrt3/4&\sqrt3/4\\\sqrt3/4&\sqrt3/4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1/2&\sqrt3/2\\\sqrt3/2&1/2\end{bmatrix}

Answer 1

En la pregunta no queda claro si busca la solución de ampliación en serie o una alternativa.

Para la ampliación de la serie, recuerde que

$$\cos(M) = I - \frac{M^2}{2!} + \frac{M^4}{4!} - ...$$

y que $M^n$ se puede hallar diagonalizando.

Una solución alternativa ha sido dada en parte por el usuario akhmeteli en el Physics SE.

Es fácil demostrar que $3$ es un valor propio de $M$ con vector propio $\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right)$ . En virtud de la expansión en serie, sabemos que se trata de un vector propio de $\cos(\frac{\pi M}{6})$ por lo que el valor propio correspondiente es $\cos(\frac{\pi 3}{6}) = 0$ . Así pues, buscamos una matriz con determinante $0$ y con un valor propio (correspondiente a nuestro vector propio) de $0$ . Sólo una de las soluciones cumple esta condición.

Answer 2

$$M=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$$ $${\pi M\over6}=\begin{bmatrix}\pi/3&\pi/6\\\pi/6&\pi/3\end{bmatrix}$$ $$\cos{\pi M\over6}=\begin{bmatrix}1/2&\sqrt3/2\\\sqrt3/2&1/2\end{bmatrix}$$

Al menos eso es lo que creo que quería decir la pregunta.