el núcleo del mapa exponencial es isomorfo al grupo de homología singular

Question

Sea $G$ sea un toro algebraico o una variedad abeliana sobre los números complejos. Entonces $G(\mathbb{C})$ es un grupo Lie complejo. ¿Es cierto que tenemos la siguiente secuencia exacta?

$ 0 \to H_1(G(\mathbb{C}),\mathbb{Z}) \xrightarrow{\alpha} Lie(G(\mathbb{C})) \xrightarrow{\exp} G(\mathbb{C}) \to 0 $

Ejemplos :

1) Si $G=\mathbb{C}^{*}$ la secuencia exacta es

$ 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{2\pi i} \mathbb{C} \xrightarrow{\exp} \mathbb{C}^{*} \to 0 $

2) Si $G$ es una variedad abeliana de dimensión $d$ alors $G(\mathbb{C})=\mathbb{C}^n/\Lambda$ donde $\Lambda $ es una red máxima de $\mathbb{C}^n $ . La secuencia exacta es

$ 0 \to \Lambda \to \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n/\Lambda \to 0 $

¿Podría explicarme también por qué el mapa $\alpha$ y el mapa exponencial son los que son en los casos anteriores? Además, ¿cuáles son sus descripciones en general? Creo que conozco la descripción del mapa exponencial en general, pero no entiendo por qué se reduce al mapa cociente en el ejemplo 2. Muchas gracias.

Answer 1

Cualquier grupo de Lie real o complejo $G$ tiene una cobertura universal $\widetilde{G}$ en el que el grupo fundamental $\pi_1(G)$ actúa con cociente $G$ . Esto siempre viene de una secuencia exacta corta

$$1 \to \pi_1(G) \to \widetilde{G} \to G \to 1.$$

Porque $G$ es un grupo topológico, el mapa natural $\pi_1(G) \to H_1(G)$ es un isomorfismo, y si $G$ es abeliano, entonces el mapa exponencial $\mathfrak{g} \to \widetilde{G}$ también es un isomorfismo.