Hallar los valores de las constantes positivas $k$ y $c$ tal que $-37\le k(3\sin\theta + 4\cos\theta) +c\le 43$ para todos los valores de $\theta$

Question

Hola, ¿cómo puedo solucionar esto?

Hallar los valores de las constantes positivas $k$ y $c$ tal que $$-37\le k(3\sin\theta + 4\cos\theta) +c\le 43 $$ para todos los valores de $\theta$ $$\rightarrow-37\le k(5(\sin\theta + 53.1)) +c\le 43 $$ ¿Y después?

Saludos

Answer 1

Por Cauchy-Schwarz

$$(3\sin(x)+4\cos(x))^2 \leq 25 (\sin^2(x)+\cos^2(x))=25$$

y la igualdad es posible.

Entonces

$$-5 \leq 3\sin(x)+4\cos(x) \leq 5 $$

esto demuestra que

$$-5k+c \leq - k(3\sin\theta + 4\cos\theta) +c\le 5k+c \,.$$

y se pueden determinar los límites inferior/superior. Puedes terminarlo fácilmente.

Answer 2

Pista: $|\sin \alpha| \leq 1$ .

Por lo tanto, esto implica que $ c = \frac {43+(-37)} {2} $ .