Hallar la media del estadístico de orden máximo extraído de la normal estándar

Question

Sea $X=\max\{X_1, X_2, \cdots, X_N\}$ donde cada $X_i \sim N(0,1)$ y son independientes. ¿Cuál es el valor aproximado de $X$ para grandes $N$ .

El término "aproximado" no está definido muy claramente. Supongo que se refiere a la media, pero no puedo encontrar una forma de calcularla, ya que la PDF de la variable $N$ El estadístico de segundo orden utiliza la FDA de la normal.

Agradecería cualquier opinión.

Answer 1

Aquí se discute la distribución (asintótica y exacta) del estadístico de orden máximo de una muestra normal iid: Determinar la distribución límite de los estadísticos de orden Normal Estándar . Entonces la expectativa se puede encontrar por integración numérica (ejemplo dado allí), o la solución asintótica dada allí, que es un Distribución de Gumbel se puede utilizar. Esa página de wikipedia da la expectativa de una variante estándar de Gumbel como el Constante de Euler-Mascheroni $\gamma\approx 0.57721$ por lo que con la notación de la primera página enlazada, la expectativa aproximada del máximo de $n$ iid $\mathcal{N}(0,1)$ variables es $$ a_{(n)} + b_{(n)} \gamma$$ .

Answer 2

Esta pregunta se planteó de otra forma hace unos años en math Stack Exchange, donde se pedía demostrar que el máximo de $n$ normales independientes era asintóticamente equivalente a $\sqrt{2 \log n}$ .

Tras derivar la distribución exacta de la estadística de orden máximo, se hizo evidente de inmediato que para grandes $n$ (y con esto no me refiero sólo a $n = 100$ pero digamos $n = 1,000,000$ o incluso mil millones), la asíntota propuesta era terriblemente inútil, y además no existe ningún valor aproximado significativo para $X$ . El valor de $X$ no converge a ninguna constante para grandes $n$ .

La publicación completa sobre matemáticas SE está en:

https://math.stackexchange.com/questions/961780/prove-that-the-maximum-of-n-independent-standard-normal-random-variables-is-a

En resumen, en respuesta a su pregunta: no existe un valor aproximado significativo de $X$ para grandes $n$ .

Answer 3

Creo que debería consultar el teorema de Fisher-Tippet, que proporciona un CLT para el máximo y que establece que el máximo normalizado converge casi con seguridad a una de las tres distribuciones siguientes (Gumbel, Frechet o Weibull)

fuentes: https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theory http://www.maths.manchester.ac.uk/~saralees/chap1.pdf